Συνεχής υπό όρους

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{4^x-1}{x}& , x\neq 0\\ & \\ k& , x=0 \end{matrix}\right.$ . Βρείτε την τιμή του πραγματικού

,

η οποία καθιστά την

συνεχή . Απαράβατος όρος : Όχι χρήση παραγώγων !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 11:42 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{4^x-1}{x}& , x\neq 0\\ & \\ k& , x=0 \end{matrix}\right.$ . Βρείτε την τιμή του πραγματικού ,

η οποία καθιστά την συνεχή . Απαράβατος όρος : Όχι χρήση παραγώγων !

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x} - 1}}{x}$ και για 4^x=t,

το ζητούμενο όριο γράφεται: $\displaystyle \ln 4\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{t - 1}}{{\ln t}}$

$\displaystyle \ln t \le t - 1$ και αντικαθιστώντας το

με $\dfrac{1}{t},$ έχουμε: $\displaystyle - \ln t \le \frac{{1 - t}}{t} \Rightarrow \frac{{t - 1}}{t} \le \ln t \le t - 1,$ απ' όπου

$\boxed{\frac{1}{t} \le \frac{{\ln t}}{{t - 1}} \le 1, t>1}$ και $\boxed{\frac{1}{t} \ge \frac{{\ln t}}{{t - 1}} \ge 1, 0<t<1}$

Με κριτήριο τώρα παρεμβολής $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{t - 1}}{{\ln t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{\ln t}}{{t - 1}} = 1,$ άρα $\boxed{k=\ln 4}$

#3

$\displaystyle{\frac{4^x-1}{x}=\frac{e^{xln4-1}}{xln4}ln4=ln4\frac{e^y-1}{y},y\to 0}$

Ξεκινώντας από την $\displaystyle{e^y\ge y+1}$ και για $\displaystyle{y }$ το $\displaystyle{-y}$ χρησιμοποιούμε το ΚΠ και δείχνουμε το $\displaystyle{\frac{e^y-1}{y}\to 1}$

δεν νομίζω οτι η άσκηση βρίσκεται στον σωστό φάκελλο> Ίσως στον ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 11:42 am
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{4^x-1}{x}& , x\neq 0\\ & \\ k& , x=0 \end{matrix}\right.$ . Βρείτε την τιμή του πραγματικού ,

η οποία καθιστά την συνεχή . Απαράβατος όρος : Όχι χρήση παραγώγων !

Δεν νομίζω ότι μπορεί να λυθεί χωρίς χρήση παραγώγων και συγχρόνως να είναι μέσα στα πλαίσια της σχολικής ύλης
Συγκεκριμένα αυτό που έγραψε ο Ροδόλφος και ο Γιώργος στην ουσία χρησιμοποιούν την παράγωγο
της $e^{x},\ln x$
στα 0,1

αντίστοιχα.
Δηλαδή πως θα βγάλουμε τις ανισότητες
$e^{x}\geq 1+x,x\in \mathbb{R}\vee \ln x\leq x-1,x>0$
(που στην ουσία είναι μια)
στα πλαίσια της σχολικής ύλης χωρίς να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους;

KARKAR · #5

Ξεκινώ όπως περίπου ο Γιώργος :

Θέτοντας 4^x-1=u

, το ζητούμενο όριο γράφεται : $\displaystyle \ln 4\cdot \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\ln4$ ,

Αφού : $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=1$

Πράγματι : $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {\ln(u+1)}^\dfrac{1}{u}}$ . Αλλά : $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {{(u+1)}^\dfrac{1}{u}}=e$

διότι θέτοντας : $\dfrac{1}{u}=t$ , και $u\rightarrow 0^{+} , t\rightarrow +\infty$ , $...=\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e$ .

Χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του

, του σχολικού βιβλίου της Β' Λυκείου . Όμοια και για $u\rightarrow 0^{-}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 18, 2019 9:29 pm
Ξεκινώ όπως περίπου ο Γιώργος :

Θέτοντας , το ζητούμενο όριο γράφεται : $\displaystyle \ln 4\cdot \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\ln4$ ,

Αφού : $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{u}}{{\ln (u+1)}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=1$

Πράγματι : $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \dfrac{{\ln(u+1)}}{{u}}=\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {\ln(u+1)}^\dfrac{1}{u}}$ . Αλλά : $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {{(u+1)}^\dfrac{1}{u}}=e$

διότι θέτοντας : $\dfrac{1}{u}=t$ , και $u\rightarrow 0^{+} , t\rightarrow +\infty$ , $...=\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e$ .

Χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του , του σχολικού βιβλίου της Β' Λυκείου . Όμοια και για $u\rightarrow 0^{-}$

Αν δεν κάνω λάθος το σχολικό της Β Λυκείου έχει για ορισμό του

τον

$\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} {{(\dfrac{1}{n}+1)}^n}}=e$

Από αυτό για να προκύψει ότι

$\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e$

και

$\mathop {\lim }\limits_{t \to -\infty} {{(\dfrac{1}{t}+1)}^t}}=e$
θέλει αρκετή δουλειά και φυσικά να χρησιμοποιήσουμε ιδιότητες που δεν
υπάρχουν στο σχολικό αν και είναι τετριμμένες.

συμπλήρωμα.Εβαλα και την σχέση μετά το μπλέ.

Συνεχής υπό όρους

Συνεχής υπό όρους

Re: Συνεχής υπό όρους

Re: Συνεχής υπό όρους

Re: Συνεχής υπό όρους

Re: Συνεχής υπό όρους

Re: Συνεχής υπό όρους

Μέλη σε σύνδεση