Ώρα τριγωνομετρίας

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας.

: Ωρα Τριγωνομετρίας.PNG (6.39 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

ενώ

.

Θεωρούμε το $E \in AB$ ώστε $\widehat{ACE}=30^{0}$ και φέρουμε $DE \parallel AC...D\in BC$ . Αν είναι CD=1

τότε

Να εξεταστεί αν το BC=a

είναι ρίζα της $x^{3}-3x+1=0$ .Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

STOPJOHN · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 08, 2019 6:33 pm
Γεια σας.
Ωρα Τριγωνομετρίας.PNG
Το τρίγωνο έχει ενώ .

Θεωρούμε το $E \in AB$ ώστε $\widehat{ACE}=30^{0}$ και φέρουμε $DE \parallel AC...D\in BC$ . Αν είναι τότε

Να εξεταστεί αν το είναι ρίζα της $x^{3}-3x+1=0$ .Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Τα τρίγωνα BED,ABC

είναι όμοια και $DE=\dfrac{a-1}{a}=BE$ , $EA=1-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a}$

Θεώρημα Stewart

στο τρίγωνο $ABC,EC^{2}=\dfrac{a^{3}+a^{2}-2a+1}{a^{2}},$ ,
και νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο

$EAC,3(a^{3}+a^{2}-2a+1)=(a^{2}+2a-2)^{2}\Leftrightarrow a^{4}+a^{3}-3a^{2}-2a+1=0\Leftrightarrow a^{3}=\dfrac{3a^{2}+2a-1}{a+1},(*)$

Ισχύει $3a^{2}+2a-1=(a+1)(3a-1)$

$(*)\Rightarrow a^{3}=3a-1$

Δηλαδή

$a^{3}-3a+1=0$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα. Σ' ευχαριστώ Γιάννη για την ωραία λύση! Ας θέσω ένα επιπλέον ζητούμενο:

Με τα αρχικά δεδομένα σε ισχύ να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου .
Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 11, 2019 6:48 pm
Καλησπέρα. Σ' ευχαριστώ Γιάννη για την ωραία λύση! Ας θέσω ένα επιπλέον ζητούμενο:

Με τα αρχικά δεδομένα σε ισχύ να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου .
Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.

Καλησπέρα!

: Ώρα τριγ...png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Από το ισοσκελές ABC (AB=AC=1)

προκύπτει ότι $\displaystyle \cos B = \frac{a}{2}.$ Αλλά, $\displaystyle DE||AC \Rightarrow AE = \frac{1}{a}$

Ν. ημιτόνων στο AEC:

$\displaystyle \frac{{\frac{1}{a}}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{1}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{a}{2} = \cos B \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=90^\circ-\widehat B}$ (1)

$\displaystyle \theta + 30^\circ = 2\widehat B\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\widehat B = 40^\circ = \widehat C,\widehat A = 100^\circ}$

Από αυτά τα αποτελέσματα, θα αποδείξω τώρα την αρχική άσκηση:

$\displaystyle \cos 120^\circ = 4{\cos ^3}40^\circ - 3\cos 40^\circ = 4{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} - \frac{{3a}}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} = \frac{{{a^3} - 3a}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a^3-3a+1=0}$

Ώρα τριγωνομετρίας

Ώρα τριγωνομετρίας

Re: Ώρα τριγωνομετρίας

Re: Ώρα τριγωνομετρίας

Re: Ώρα τριγωνομετρίας

Μέλη σε σύνδεση