Γεωμετρικό σύστημα

KARKAR · #1

Να λυθεί ( χωρίς τη βοήθεια λογισμικού ) το σύστημα :

$\left\{\begin{matrix} x+y & =6\\ z+w& =8\\ \sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}& =10\\ x^2+z^2-y^2&=0 \end{matrix}\right.$

Δείτε την "πηγή" του συστήματος στο παρακάτω σχήμα . ( M,N

) μέσα .

: Γεωμετρικό σύστημα.png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Σημ. "Χωρίς βοήθεια λογισμικού" σημαίνει ότι πρέπει να φαίνεται η πορεία της λύσης .

#2

$\left\{ \begin{gathered} x + y = 6\,\,\,(1) \hfill \\ z + w = 8\,\,\,(2) \hfill \\ \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{y^2} + {w^2}} = 10\,\,\,(3) \hfill \\ {x^2} + {z^2} = {y^2}\,\,(4) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από την (3)

λόγω των

και

έχω :

${x^2} - {y^2} + {z^2} - {w^2} = 100 - 20\sqrt {{y^2} + {w^2}} \Rightarrow 6(x - y) + 8(z - w) = 100 - 20\sqrt {{y^2} + {w^2}}$

Η οποία γίνεται : $3y + 4w = 5\sqrt {{y^2} + {w^2}}$ αν θέσω $y = kw\,\,,\,\,w \ne 0$ η προηγούμενη δίδει

${\left( {4k - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{k = \frac{3}{4}}$ επί της ουσίας εδώ τελειώσαμε αφού:

$\left\{ \begin{gathered} x = \frac{3}{4}(8 - w) \hfill \\ z = 3\sqrt {w - 4} \hfill \\ y = \frac{3}{4}w \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και από την (4)

έχω $\boxed{w = 5} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 3 \hfill \\ x = \frac{9}{4} \hfill \\ y = \frac{{15}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Θα δω αργότερα τη Γεωμετρική ερμηνεία.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μια γεωμετρική προσέγγιση (με ολίγη αναγκαστική άλγεβρα στο τέλος).

: 7-11-2019 Γεωμετρία.png (32.14 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Στις πλευρές ορθής γωνίας παίρνουμε τμήματα OC = x, OD = z

, οπότε (από την (4) έχουμε DC = y

).

Προεκτείνουμε την

κατά

και την

κατά

, οπότε από την (1) είναι OA = x+y = 6

και από την (2) είναι OB = z+w = 8

, άρα

.

Φέρνουμε κάθετη στη

στο

, η οποία κόβει την προέκταση της

στο

, οπότε $\displaystyle CE = \sqrt {{y^2} + {w^2}}$ , άρα από την (3) είναι AE = 10

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο DEC

είναι $y^2=x\cdot CE = x(10-y)$ .

Οπότε y^2=(6-y)(10-y)

από όπου προκύπτει $\displaystyle y = \frac{{15}}{4}$ κι εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle x = 6 - \frac{{15}}{4} = \frac{9}{4},\;\;z = \sqrt {{y^2} - {x^2}} = \sqrt {\frac{{225}}{{16}} - \frac{{81}}{{16}}} = 3,\;\;w = 8 - z = 5$ .

KARKAR · #4

: Γεωμετρική ερμηνεία.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Το τετράπλευρο

έχει κάθετες διαγωνίους BD=6 , AC=8

, άρα :

.

Ακόμη : $2MN=2OM+2ON=AB+CD=\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}=10$ .

Επιπλέον : $\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{w}=\dfrac{x+y}{z+w}=\dfrac{3}{4}$ , δηλαδή : $x=\dfrac{3}{4}z ,y=\dfrac{3}{4}w$ . Όλα αυτά

σε συνδυασμό με την OD=AB

, δίνουν διάφορους τρόπους επίλυσης ...

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 08, 2019 1:03 pm
Γεωμετρική ερμηνεία.png Το τετράπλευρο έχει κάθετες διαγωνίους , άρα : .

Ακόμη : $2MN=2OM+2ON=AB+CD=\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}=10$ .

Επιπλέον : $\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{w}=\dfrac{x+y}{z+w}=\dfrac{3}{4}$ , δηλαδή : $x=\dfrac{3}{4}z ,y=\dfrac{3}{4}w$ . Όλα αυτά

σε συνδυασμό με την , δίνουν διάφορους τρόπους επίλυσης ...

Κι εδώ γιατί βιάστηκες !! χθες βράδυ αυτό έκανα αλλά δεν μου έμεινε ώρα σήμερα να γράψω τίποτα(Έχουμε αύριο το διαγωνισμό κι είμαι στο παράρτημα μέλος με ότι αυτό συνεπάγεται)

Γεωμετρικό σύστημα

Γεωμετρικό σύστημα

Re: Γεωμετρικό σύστημα

Re: Γεωμετρικό σύστημα

Re: Γεωμετρικό σύστημα

Re: Γεωμετρικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση