Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
άρα . Επίσης, με χρήση αυτού, . Παίρνοντας όριο στο έχουμε από ισοσυγκλίνουσες , από όπου το ζητούμενο.
Επίσης, η αρχική στο δίνει . Άρα για την παράγωγο στο έχουμε
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Σε περίπτωση που δεν υπάρχει εξοικείωση με τις ανισοτικές σχέσεις που είναι κομψότατες και σύντομες , θα προσθέσω μια πιο "φλύαρη" προσέγγιση γενικεύοντας και τη συνέχεια σε όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Με προϋπόθεση, λοιπόν ότι θα μπορούσε να ζητάει την απόδειξη συνέχειας σε όλο το , θα μπορούσε να έχει και την εξής αντιμετώπιση.
Για το τυχαίο έχουμε:
και
Αφαιρώντας κατά μέλη
με παρονομαστή κλάσματος πάντα , ώς άθροισμα θετικών.
Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου προκύπτει
Άρα για τη συνέχεια από τη σχέση έχουμε
Με προϋπόθεση, λοιπόν ότι θα μπορούσε να ζητάει την απόδειξη συνέχειας σε όλο το , θα μπορούσε να έχει και την εξής αντιμετώπιση.
Για το τυχαίο έχουμε:
και
Αφαιρώντας κατά μέλη
με παρονομαστή κλάσματος πάντα , ώς άθροισμα θετικών.
Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου προκύπτει
Άρα για τη συνέχεια από τη σχέση έχουμε
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Πέμ Οκτ 24, 2019 1:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
ή
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, δεν είναι ο παρονομαστής μεγαλύτερος του 1 απαραίτητα.
Ακόμα και να ίσχυε, το όριο του δεξιά δεν κάνει 0,δεν γνωριζω καν υπαρξη του ορίου στο για την .
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Και άλλη μία λύση (μόνο τα βήματα), για να υπάρχει. Σωστή μεν αλλά χωρίς ενδιαφέρον:
Μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια ως προς , οπότε θα βρούμε
(για να γλιτώσω χρόνο και για να μην κάνω λάθος στις πράξεις, χρησιμοποίησα λογισμικό).
Από εκεί και πέρα είναι θέμα (και πάλι) ρουτίνας. Για παράδειγμα για το όριο στο η παράσταση τείνει στο
. Και λοιπά.
Σχολιάζω ότι το πλεονέκτημα είναι ότι βρήκαμε ακριβώς την αλλά με τίμημα την επίπονη διαδικασία ρουτίνας.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Χωρίς λογισμικό παίρνοντας τον τύπο του Cardano βγαίνειMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 24, 2019 5:37 pmΚαι άλλη μία λύση (μόνο τα βήματα), για να υπάρχει. Σωστή μεν αλλά χωρίς ενδιαφέρον:
Μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια ως προς , οπότε θα βρούμε
(για να γλιτώσω χρόνο και για να μην κάνω λάθος στις πράξεις, χρησιμοποίησα λογισμικό).
Από εκεί και πέρα είναι θέμα (και πάλι) ρουτίνας. Για παράδειγμα για το όριο στο η παράσταση τείνει στο
. Και λοιπά.
Σχολιάζω ότι το πλεονέκτημα είναι ότι βρήκαμε ακριβώς την αλλά με τίμημα την επίπονη διαδικασία ρουτίνας.
που νομίζω ότι είναι πιο εύχρηστο.
Πάντως τα ίδια ισχύουν αν πάρουμε την να ικανοποιεί την
που σε αυτή νομίζω ότι τα λογισμικά δεν δουλεύουν.
Τα πάντα όλα για τις τριτοβάθμιες βρίσκονται στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, δεν είναι ο παρονομαστής μεγαλύτερος του 1 απαραίτητα.
Ακόμα και να ίσχυε, το όριο του δεξιά δεν κάνει 0,δεν γνωριζω καν υπαρξη του ορίου στο για την .
[/quote]
Ας υποθέσουμε ότι το όριο δεν υπάρχει και ας πάρουμε την περίπτωση απόκλισης των δύο πλευρικών ορίων.
Υποθέτουμε λοιπόν ότι και με
Τότε και
Με επίλυση ως προς ύστερα απο πράξεις
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Ratio, για δες το πάλι γιατί μου φαίνεται ότι πολλά πράγματα δεν πάνε καλά. Ένα από αυτά (και όχι το μόνο) είναι ότι η παραπάνω εξίσωση έχει πολλές λύσεις, όπως για παράδειγμα την , που βέβαια ικανοποιεί .
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
'Εχετε απόλυτο δίκιο αλλά δεδομένου ότι δεν θα περιορίσουμε και τις δεκτές τιμές των εντός αυτού του συνόλου;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
To παράδειγμα ήταν για να δείξει ότι ο συλλογισμός στην ισοδυναμία
είναι λάθος. Υπόψη ότι πουθενά δεν χρησιμοποίησες, ούτε σε αυτό το βήμα ούτε στα υπόλοιπα της λύσης σου, το συμπέρασμα .
Στην λύση που δίνεις υποθέτεις ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν. Η έξτρα αυτή υπόθεση είναι πολύ ισχυρή, σχεδόν ισοδύναμη με το ζητούμενο. Η ουσία της άσκησης είναι να δείξεις ότι το όριο υπάρχει χωρίς να υποθέσεις κάτι τόσο ισχυρό.
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αλλά και την ύπαρξη του ορίου τα θεώρησα προφανή και αυτονόητα αντίστοιχα σύμφωνα με την πρώτη επίλυση .
Το μεν πρώτο γιατί ήδη έχει αναφερθεί το δε δεύτερο ως άμεση συνέπεια σε περίπτωση που επιλύσουμε την δεδομένη σχέση ως προς . Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο θα έχουμε
Αν έστω για κάποιο πλευρικό όριο η παράσταση δεξιά έχει . Γι' αυτό και έκανα αποκλεισμό της περίπτωσης χωρίς κάποια αναφορά.
Κακώς ίσως αλλά πιστεύω ότι όποιος μας παρακολουθεί διατηρεί και την αλληλουχία των συμπερασμάτων. Όπως και να έχει σας ευχαριστώ και θα το κοιτάξω
Το μεν πρώτο γιατί ήδη έχει αναφερθεί το δε δεύτερο ως άμεση συνέπεια σε περίπτωση που επιλύσουμε την δεδομένη σχέση ως προς . Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο θα έχουμε
Αν έστω για κάποιο πλευρικό όριο η παράσταση δεξιά έχει . Γι' αυτό και έκανα αποκλεισμό της περίπτωσης χωρίς κάποια αναφορά.
Κακώς ίσως αλλά πιστεύω ότι όποιος μας παρακολουθεί διατηρεί και την αλληλουχία των συμπερασμάτων. Όπως και να έχει σας ευχαριστώ και θα το κοιτάξω
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος
Νομίζω ότι χάνουμε την ουσία.
Όταν ένα όριο δεν υπάρχει, δεν σημαίνει ότι είναι ή ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν αλλά είναι άνισα. Οι περιπτώσεις αυτές ΔΕΝ ΕΞΑΝΤΛΟΥΝ τις εκδοχές. Για παράδειγμα το όριο δεν υπάρχει αλλά δεν εμπίπτει στις περιπτώσεις που γράφεις. Τα πράγματα είναι πιο σύνθετα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες