Αριθμοθεωρητικό όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο :

$\displaystyle{\ell= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{m=1}^{n} n \pmod m}$
όπου $r=n \pmod m$ τέτοιο ώστε $0\leq r< m$ .

#2

Δηλαδή θέλουμε το

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{m=1}^{n} \left(n - m\left\lfloor \tfrac{n}{m}\right\rfloor\right)$

Ας παρατηρήσουμε ότι

$\displaystyle \sum_{m=1}^{n} m\left\lfloor \tfrac{n}{m}\right\rfloor = \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\lfloor n/m \rfloor} m = \sum_{k=1}^{n}\sum_{m=1}^{\lfloor n/k \rfloor} m =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor \tfrac{n}{k}\right\rfloor (\left\lfloor \tfrac{n}{k}\right\rfloor + 1) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{n^2}{k^2} + O\left(\frac{n}{k}\right) \right)$

Αφού $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ και $H_n = O(\log{n})$ , το ζητούμενο όριο ισούται με $\displaystyle 1 - \frac{\pi^2}{12} = \frac{12-\pi^2}{12}$

Tolaso J Kos · #3

Κάπως διαφορετικά με άθροισμα Riemann ....

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{m=1}^{n} n \pmod m &= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{m=1}^{n} \left ( n - m \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor \right ) \\ &=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2} \left ( n^2 - \sum_{m=1}^{n} m \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor \right ) \\ &=1 - \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{n} \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor \\ &= 1 - \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \, \mathrm{d}x\\ &= \cdots \\ &=1 - \frac{\pi^2}{12} \end{aligned}}$
διότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \, \mathrm{d}x &\overset{u=1/x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{\infty} \frac{\left \lfloor u \right \rfloor}{u^3} \, \mathrm{d}x \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{n}{x^3} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right )\\ &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{n}{(n+1)^2} \right )\\ &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} \right )\\ &=\frac{1}{2}\cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right )} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} \\ &=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\ &=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left ( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right ) \\ &=\frac{\pi^2}{12} \end{aligned}}$

Αριθμοθεωρητικό όριο

Αριθμοθεωρητικό όριο

Re: Αριθμοθεωρητικό όριο

Re: Αριθμοθεωρητικό όριο

Μέλη σε σύνδεση