Τριχοτόμηση γωνίας!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.

: 19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG (8.8 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

. Το σημείο $N \in BC$ ώστε BN=2NC

.

Εντοπίζουμε το $E \in AN$ ώστε να είναι $\widehat{ABE}=\widehat{CAN}$ .

Να εξεταστεί αν η

τριχοτομεί την $\widehat{BEC}$ , δηλ. αν $\widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}$ .

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο έχει . Το σημείο $N \in BC$ ώστε .

Εντοπίζουμε το $E \in AN$ ώστε να είναι $\widehat{ABE}=\widehat{CAN}$ .

Να εξεταστεί αν η τριχοτομεί την $\widehat{BEC}$ , δηλ. αν $\widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}$ .

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα!

Έστω

σημείο στην προέκταση της

ώστε $\angle CBM=\angle ABE$ και

το συμμετρικό του ως προς το

.Επειδή $\angle CBM=\angle ABE=\angle NAC$ το ABCK

είναι εγγράψιμο ,έτσι $\angle EKB=\angle AKB =\angle ACB$ άρα EB=EK

.Η

είναι διχοτόμος της $\angle CKB$ και αφού BN=2NC

είναι

(θεώρημα διχοτόμου) .Το

ανήκει στην μεσοκάθετο του

άρα

και αφού στο ισοσκελές EMK

το

είναι διάμεσος θα είναι και ύψος .
Έχουμε $\angle BEK=\angle EBA+\angle BAE=\angle A=180^{\circ}-2\angle B=180^{\circ}-2\angle CKE=2\left ( 90^{\circ}-\angle CKE \right )=..=2\angle NEC$ δηλαδή

τριχοτόμος της $\angle BEC$

: 150.PNG (34.97 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

#3

: Τριχοτόμηση_Μήτσιος_a.png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

α)Αν

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

του

θα είναι $\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}$ και αν φέρω τη μεσοκάθετο του

που τέμνει την AN'

στο

θα είναι $\widehat {{y_{}}} = \widehat {{z_{}}}$ .

Αν τώρα η

τέμνει την

στο

θα είναι $\boxed{\widehat {{x_{}}} = \widehat {{z_{}}}}$

β)

: Τριχοτόμηση_Μήτσιος oritzin.png (31.75 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

Γράφω τώρα το κύκλο $\left( {E,EB} \right)$ που η προέκταση της

τον τέμνει στο

.

Επειδή προφανώς $\widehat {{a_1}} = \widehat {BET} = \widehat {BAC}$ τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EBT$ είναι

ισοσγώνια και άρα $\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _2}}$ , έτσι το τετράπλευρο ABTC

είναι εγγράψιμο και αφού

AB = AC

η

είναι διχοτόμος στο $\vartriangle TBC$ . Έτσι όμως θα είναι και TB = 2TC = 2k

Αν λοιπόν

το μέσο του

, τα τρίγωνα $\vartriangle EMT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ECT$ θα είναι ίσα οπότε :

Η

διχοτομεί την $\widehat {BET}$ και η

την $\widehat {MEC}$

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο έχει . Το σημείο $N \in BC$ ώστε .

Εντοπίζουμε το $E \in AN$ ώστε να είναι $\widehat{ABE}=\widehat{CAN}$ .

Να εξεταστεί αν η τριχοτομεί την $\widehat{BEC}$ , δηλ. αν $\widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}$ .

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Τριχόμηση γωνίας new.png (45.75 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

Κάπως εν τάχει .

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

του

.

Φέρνω κάθετη στο

επί τη

που τέμνει την

στο

και τον κύκλο (F,N,C)

που τέμνει, ακόμα , την

στο

.

Γράφω ακόμα τον κύκλο (B,E,N)

που τα τέμνει την

στο

.

Το κέντρο αυτού του κύκλου θα ανήκει στη μεσοκάθετο του

που θα είναι αναγκαστικά η DN'

.Έτσι

. Το τετράπλευρο N'NFD

είναι ορθογώνιο.

$\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \widehat {{\omega _{}}}$ ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο DENB

)

Άρα και το τετράπλευρο [unparseable or potentially dangerous latex formula] είναι εγγράψιμο και $\widehat {{x_{}}} = \widehat {{z_{}}} = \widehat {{y_{}}}$

$\widehat {{\sigma _{}}} = \widehat {ABC} = 2\left( {\widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _3}}} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\xi _{}}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _1}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\phi _3}}$ . Άρα $\boxed{\widehat {{\sigma _{}}} = 2\widehat {{\xi _{}}}}$

Παρατήρηση :

Θα μπορούσα αντί να γράψω τον κύκλο να φέρω από το παράλληλη στην μέχρι να κόψει την στο .

Επειδή $AD \cdot AB = AF \cdot AC = AE \cdot AN$ το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο με κέντρο στην .

Έτσι η $\widehat {{z_{}}}$ είναι υπό χορδής κι εφαπτομένης…

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2019 12:06 am
Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο έχει . Το σημείο $N \in BC$ ώστε .

Εντοπίζουμε το $E \in AN$ ώστε να είναι $\widehat{ABE}=\widehat{CAN}$ .

Να εξεταστεί αν η τριχοτομεί την $\widehat{BEC}$ , δηλ. αν $\widehat{NEC}=\dfrac{1}{3}\widehat{BEC}$ .

Παράκληση: Παραπομπή σε λύση ας καθυστερήσει για εύλογο χρονικό διάστημα.
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι $\angle BEN= \angle EBA+ \angle BAE= \angle A$ .Επιπλέον, $\angle B+ \dfrac{A}{2} =90^0$

Θεωρούμε τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ . Λόγω της ισότητας των κόκκινων γωνιών θα είναι ZC//AP

και $\dfrac{BE}{EZ}= \dfrac{BN}{NC}=2 \Rightarrow BE=2EZ$

Άρα το APCZ

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε $ZP=AC=AB \Rightarrow BAZP$ επίσης ισοσκελές τραπέζιο, συνεπώς AE=EZ

.

Με

μέσον του

θα είναι $\triangle ABM= \triangle AEC \Rightarrow \angle NEC= \angle AMZ$

και $MA \bot AZ$ κι επειδή $\angle AZB= \angle B \Rightarrow \angle AMZ= \angle NEC= \dfrac{A}{2}$

: Τριχοτόμηση γωνίας.png (24.08 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα σε όλους! Να ευχαριστήσω τους Πρόδρομο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις τους!
Ας δούμε και την ακόλουθη:

: Τριχοτόμηση..ΙΙ.PNG (9.58 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές

Αν είναι

τότε τα τρίγωνα ABF,AEC

είναι ίσα και $\widehat{AFB}=\widehat{AEC}$ ενώ $\widehat{BEN}=\widehat{BAE}+x=\widehat{BAC}$ .

Έχουμε $\dfrac{\left ( BAN \right )}{\left ( CAN \right )}=\dfrac{BN}{NC}=2=\dfrac{\left ( BEN \right )}{\left ( CEN \right )} \Rightarrow \dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( BAF\right )}$ $= \dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( AEC \right )}=2$ άρα EF=BF=AE

οπότε $y=z=\widehat{BEN}/2=\widehat{BAC}/2$ και $\widehat{NEC}=z=\widehat{BEN}/2$ δηλ. $\widehat{NEC}=\dfrac{1}{3} \widehat{BEC}$ .

Σχόλιο: Είναι $\widehat{BEC}=\dfrac{3}{2}\widehat{BAC}$ άρα η ''τριχοτόμησή'' της δεν είναι κάτι περισσότερο από την διχοτόμηση της $\widehat{BAC}$ .

Έχω την αίσθηση ότι και το θέμα Υπολογισμένη καθετότητα ετοιμάζεται να .. .. δραπετεύσει από την <<ειρκτή>> των αναπάντητων ! Φιλικά Γιώργος.

Τριχοτόμηση γωνίας!

Τριχοτόμηση γωνίας!

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

Re: Τριχοτόμηση γωνίας!

Μέλη σε σύνδεση