IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τετ Οκτ 09, 2019 4:38 pm

SAIMC-2019_Keystage-3_Individual_Final.x17381.pdf
(523.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 67 φορές
Γειά σας,

Μήπως ενδιαφέρεται κανείς να μεταφράσει τα προβλήματα του IMC Key Stage III- IWYMIC 2019 και να τα λύνουμε μαζί;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 09, 2019 8:07 pm

Πρόβλημα 6 .
IMC.png
IMC.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές
Τα σημεία R,T τριχοτομούν την πλευρά DC του παραλληλογράμμου ABCD , εμβαδού E .

Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε : E_{black}= \dfrac{11}{8} E


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 09, 2019 8:39 pm

IMC B3.png
IMC B3.png (11.2 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές
Στο τραπέζιο ABCD οι διχοτόμοι των \hat{A} , \hat{B} τέμνονται στο M , ενώ εκείνες των \hat{C} , \hat{D}

τέμνονται στο N . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN. Υπόδειξη : (MN)=2 .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Οκτ 10, 2019 1:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 09, 2019 9:47 pm

Άσκηση A11
IMC A11.png
IMC A11.png (6.88 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle ABC του σχήματος . Υπόδειξη : (ABC)=111\sqrt{3}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am

Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:
3^{0}: 1ος όρος
3^{1}: 2ος όρος
3^{2}: 4ος όρος
3^{3}: 8ος όρος
3^{4}: 16ος όρος
3^{5}: 32ος όρος
3^{6}: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " 3 " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον 100στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον 64, τον 32 και τον 4 όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή 3^{6}+3^{5}+3^{2}=981


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 11, 2019 5:29 pm

Filippos Athos έγραψε:
Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:
3^{0}: 1ος όρος
3^{1}: 2ος όρος
3^{2}: 4ος όρος
3^{3}: 8ος όρος
3^{4}: 16ος όρος
3^{5}: 32ος όρος
3^{6}: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " 3 " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον 100στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον 64, τον 32 και τον 4 όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή 3^{6}+3^{5}+3^{2}=981
Σωστά, αλλά ας δούμε και γιατί ισχύει το μοτίβο:

Αντιστοιχούμε σε κάθε τέτοιο αριθμό τον αριθμό που λαμβάνεται αν αλλάξουμε τις δυνάμεις του 3 στις αντίστοιχες δυνάμεις του 2. Όμως κάθε αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα διαφορετικών δυνάμεων του 2. Επειδή 100 = 64+32+4 = 2^6 + 2^5 + 2^2 τότε ο 100ος αριθμός είναι ο 3^6 + 3^5 + 3^2 = 981.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Οκτ 13, 2019 9:21 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 8:07 pm
Πρόβλημα 6 .

IMC.png Τα σημεία R,T τριχοτομούν την πλευρά DC του παραλληλογράμμου ABCD , εμβαδού E .

Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε : E_{black}= \dfrac{11}{8} E
Από το θεώρημα του Θαλή προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις των πλευρών στο σχήμα.

Eblack=E(BPS)+E(ALM)-E(RJT)-E(RTK)
ΟπότεE(ABMS)=3\cdot E(ABCD)=3\cdot 48=144cm^{2}
Επομένως E(BPS)=E(ALM)=\frac{1}{4}\cdot E(ABMS)=\frac{1}{4}\cdot 144=36cm^{2}
E(RJT)=\frac{1}{6}\cdot E(DCLP)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot E(ABCD)=\frac{1}{12}\cdot 48=4cm^{2}
Παρατηρούμε το παραλληλόγραμμο ABLP,το σημείο K είναι το σημείο τομής των διαγώνιων AL και BP.
Άρα KK2=KK3.
Αφού K1K3=h τότε KK1=\frac{h}{2}
Επομένως E(RTK)=\frac{1}{2}\cdot E(RJT)=2cm^{2}
Τελικά αφού Eblack=E(BPS)+E(ALM)-E(RJT)-E(RTK)
Eblack=36+36-4-2=66cm^{2}
Συνημμένα
2019 p6 geogebra-export .png
2019 p6 geogebra-export .png (94.34 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 14, 2019 8:44 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Την παραπάνω λύση του Δημήτρη είχα κατά νου, αλλά ας την γράψω με δικά μου λόγια. Ουσιαστικά λέω ακριβώς το ίδιο πράγμα αλλά, ίσως, προδίδω καθαρότερα την ιδέα πίσω από την σκέψη πριν την λύση:

Η άσκηση μας λέει ότι οι αριθμοί στην ακολουθία είναι εκείνοι που στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης γράφονται με συντελεστές μόνο 0 ή 1 (πετάμε όσους έχουν κάποιο δυάρι). Π.χ 10=9+1= 3^2+1=(101)_3. Αντιστοιχίζουμε τον κάθε αριθμό από αυτούς σε εκείνον που προκύπτει αν τον θεωρήσουμε γραμμένο στο δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα 10=(101)_3\rightarrow (101)_2=5.
Τώρα είναι φανερό ότι οι αριθμοί είναι γραμμένοι χωρίς κενά, αρχίζοντας από τον 1, και με την ίδια διάταξη (δεν ανακατεύονται).
Δεδομένου ότι 100= 2^6+2^5+2^2=(1100100)_2, σημαίνει ότι ο εκατοστός αριθμός στην σειρά είναι εκείνος που αντιστοιχίστηκε στον (1100100)_2, δηλαδή ο (1100100)_3=3^6+3^5+3^2=981.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Παρ Οκτ 18, 2019 3:43 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 8:39 pm
IMC B3.pngΣτο τραπέζιο ABCD οι διχοτόμοι των \hat{A} , \hat{B} τέμνονται στο M , ενώ εκείνες των \hat{C} , \hat{D}

τέμνονται στο N . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN. Υπόδειξη : (MN)=2 .
Στο τραπέζιο ABCD οι διχοτόμοι των \hat{A} , \hat{B} τέμνονται στο M , ενώ εκείνες των \hat{C} , \hat{D}

τέμνονται στο N . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN. Υπόδειξη : (MN)=2 .
[/quote]


Σχηματίζοντας τα ύψη του τραπεζίου παίρνουμε το ορθογώνιο ADZP συμπεραίνουμε ότι το ZP=5cm

Άρα BZ+PC=26-5=21cm
Από το Πυθαγώρειο θεώρημα έχουμε
AZ^{2}+BZ^{2}=10^{2}=100 και
DP^{2}+PC^{2}=17^{2}=289
αφού AZ=DP επειδή είναι ύψη και BZ=21-PC, έχουμε:
AZ^{2}+BZ^{2}=100 και
AZ^{2}+(21-BZ)^{2}=289
(21-BZ)^{2}-BZ^{2}=189
BZ=6cm
Τότε PC=21-6=15cm και τα ύψη h=8cm

Προεκτείνουμε τις διχοτόμους AM, DN προς την BC στα σημεία T, K αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα ABT, CDK είναι ισοσκελή.
Για το \triangle ABT η \angle BTA=\angle TAD=\angle TAB
Με το ίδιο τρόπο για το \triangle CDK η \angle DKC=\angle ADK=\angle KDC,
επομένως AM=MT και DN=NK (Σ1)

Επίσης AB=BT=10cm \Rightarrow ZT=4cm
DC=CK=17cm \Rightarrow KP=2cm
\downarrow
KT=1cm, ZK=3cm, TP=1cm

Προεκτείνουμε MN προς τα ύψη AZ, DPστα σημεία E, H αντίστοιχα.
Από το (Σ1) ,EM=\frac{1}{2}ZT=2cm και NH=\frac{1}{2}KP=1cm
Τελικά
MN=5-2-1=2cm
Συνημμένα
2019 B3.png
2019 B3.png (121.12 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Οκτ 18, 2019 7:00 pm

IMC B3.png
IMC B3.png (16.34 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Σχεδιάζω το τραπέζιο ABC'D' "κονταίνοντας" κατά δύο τις βάσεις του αρχικού . Αυτό τώρα είναι

περιγράψιμο , αφού : 10+17=24+3 , δηλαδή οι διχοτόμοι του τέμνονται στο σημείο M .

Επομένως MN=D'D=2 ( παράλληλη μεταφορά ) .


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Δευ Οκτ 21, 2019 9:55 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 9:47 pm
Άσκηση A11
IMC A11.pngΒρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle ABC του σχήματος . Υπόδειξη : (ABC)=111\sqrt{3}
Από ποιό κάτω συμπεραίνουμε οτι AE=X\cdot \sqrt{3}.
Εδώ έχω κολλήσει. :helpsmilie:
Συνημμένα
2019-A11.png
2019-A11.png (75.08 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες