IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Μήπως ενδιαφέρεται κανείς να μεταφράσει τα προβλήματα του IMC Key Stage III- IWYMIC 2019 και να τα λύνουμε μαζί;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Πρόβλημα .
Τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά του παραλληλογράμμου , εμβαδού .
Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε :
Τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά του παραλληλογράμμου , εμβαδού .
Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε :
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
τέμνονται στο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος . Υπόδειξη : .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Οκτ 10, 2019 1:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Β1. The increasing sequence consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 amΒ1. The increasing sequence consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
: 1ος όρος
: 2ος όρος
: 4ος όρος
: 8ος όρος
: 16ος όρος
: 32ος όρος
: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον , τον και τον όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Σωστά, αλλά ας δούμε και γιατί ισχύει το μοτίβο:Filippos Athos έγραψε: ↑Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pmΒρήκα το ακόλουθο μοτίβο:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 amΒ1. The increasing sequence consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
: 1ος όρος
: 2ος όρος
: 4ος όρος
: 8ος όρος
: 16ος όρος
: 32ος όρος
: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον , τον και τον όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή
Αντιστοιχούμε σε κάθε τέτοιο αριθμό τον αριθμό που λαμβάνεται αν αλλάξουμε τις δυνάμεις του στις αντίστοιχες δυνάμεις του . Όμως κάθε αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα διαφορετικών δυνάμεων του . Επειδή τότε ο 100ος αριθμός είναι ο .
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Από το θεώρημα του Θαλή προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις των πλευρών στο σχήμα.
Οπότε
Επομένως
Παρατηρούμε το παραλληλόγραμμο ,το σημείο είναι το σημείο τομής των διαγώνιων και .
Άρα .
Αφού τότε
Επομένως
Τελικά αφού
- Συνημμένα
-
- 2019 p6 geogebra-export .png (94.34 KiB) Προβλήθηκε 1736 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Την παραπάνω λύση του Δημήτρη είχα κατά νου, αλλά ας την γράψω με δικά μου λόγια. Ουσιαστικά λέω ακριβώς το ίδιο πράγμα αλλά, ίσως, προδίδω καθαρότερα την ιδέα πίσω από την σκέψη πριν την λύση:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 amH αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Η άσκηση μας λέει ότι οι αριθμοί στην ακολουθία είναι εκείνοι που στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης γράφονται με συντελεστές μόνο ή (πετάμε όσους έχουν κάποιο δυάρι). Π.χ . Αντιστοιχίζουμε τον κάθε αριθμό από αυτούς σε εκείνον που προκύπτει αν τον θεωρήσουμε γραμμένο στο δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα .
Τώρα είναι φανερό ότι οι αριθμοί είναι γραμμένοι χωρίς κενά, αρχίζοντας από τον , και με την ίδια διάταξη (δεν ανακατεύονται).
Δεδομένου ότι , σημαίνει ότι ο εκατοστός αριθμός στην σειρά είναι εκείνος που αντιστοιχίστηκε στον , δηλαδή ο .
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Στο τραπέζιο οι διχοτόμοι των τέμνονται στο , ενώ εκείνες των
τέμνονται στο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος . Υπόδειξη : .
[/quote]
Σχηματίζοντας τα ύψη του τραπεζίου παίρνουμε το ορθογώνιο συμπεραίνουμε ότι το
Άρα
Από το Πυθαγώρειο θεώρημα έχουμε
και
αφού επειδή είναι ύψη και , έχουμε:
και
Τότε και τα ύψη
Προεκτείνουμε τις διχοτόμους προς την στα σημεία αντίστοιχα.
Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελή.
Για το η
Με το ίδιο τρόπο για το η ,
επομένως και (Σ1)
Επίσης
,
Προεκτείνουμε προς τα ύψη στα σημεία αντίστοιχα.
Από το (Σ1) , και
Τελικά
- Συνημμένα
-
- 2019 B3.png (121.12 KiB) Προβλήθηκε 1580 φορές
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
περιγράψιμο , αφού : , δηλαδή οι διχοτόμοι του τέμνονται στο σημείο .
Επομένως ( παράλληλη μεταφορά ) .
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Από ποιό κάτω συμπεραίνουμε οτι .
Εδώ έχω κολλήσει.
- Συνημμένα
-
- 2019-A11.png (75.08 KiB) Προβλήθηκε 1497 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες