IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Filippos Athos · #1

SAIMC-2019_Keystage-3_Individual_Final.x17381.pdf: (523.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 119 φορές

Γειά σας,

Μήπως ενδιαφέρεται κανείς να μεταφράσει τα προβλήματα του IMC Key Stage III- IWYMIC 2019 και να τα λύνουμε μαζί;

KARKAR · #2

Πρόβλημα

.

: IMC.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

Τα σημεία R,T

τριχοτομούν την πλευρά

του παραλληλογράμμου ABCD

, εμβαδού

.

Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε : $E_{black}= \dfrac{11}{8} E$

KARKAR · #3

: IMC B3.png (11.2 KiB) Προβλήθηκε 1991 φορές

Στο τραπέζιο ABCD

οι διχοτόμοι των $\hat{A} , \hat{B}$ τέμνονται στο

, ενώ εκείνες των $\hat{C} , \hat{D}$

τέμνονται στο

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

. Υπόδειξη : (MN)=2

.

KARKAR · #4

Άσκηση

: IMC A11.png (6.88 KiB) Προβλήθηκε 1979 φορές

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ του σχήματος . Υπόδειξη : $(ABC)=111\sqrt{3}$

#5

Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, …

consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, …

αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του

ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του

. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Filippos Athos · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Β1. The increasing sequence consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:
$3^{0}$ : 1ος όρος
$3^{1}$ : 2ος όρος
$3^{2}$ : 4ος όρος
$3^{3}$ : 8ος όρος
$3^{4}$ : 16ος όρος
$3^{5}$ : 32ος όρος
$3^{6}$ : 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του "

" ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον 100

στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον

, τον

και τον

όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή $3^{6}+3^{5}+3^{2}=981$

#7

Filippos Athos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Β1. The increasing sequence consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:
$3^{0}$ : 1ος όρος
$3^{1}$ : 2ος όρος
$3^{2}$ : 4ος όρος
$3^{3}$ : 8ος όρος
$3^{4}$ : 16ος όρος
$3^{5}$ : 32ος όρος
$3^{6}$ : 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον , τον και τον όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή $3^{6}+3^{5}+3^{2}=981$

Σωστά, αλλά ας δούμε και γιατί ισχύει το μοτίβο:

Αντιστοιχούμε σε κάθε τέτοιο αριθμό τον αριθμό που λαμβάνεται αν αλλάξουμε τις δυνάμεις του

στις αντίστοιχες δυνάμεις του

. Όμως κάθε αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα διαφορετικών δυνάμεων του

. Επειδή

τότε ο 100ος αριθμός είναι ο 3^6 + 3^5 + 3^2 = 981

.

Filippos Athos · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 09, 2019 8:07 pm
Πρόβλημα .

IMC.png Τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά του παραλληλογράμμου , εμβαδού .

Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε : $E_{black}= \dfrac{11}{8} E$

Από το θεώρημα του Θαλή προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις των πλευρών στο σχήμα.

Eblack=E(BPS)+E(ALM)-E(RJT)-E(RTK)

Οπότε $E(ABMS)=3\cdot E(ABCD)=3\cdot 48=144cm^{2}$
Επομένως $E(BPS)=E(ALM)=\frac{1}{4}\cdot E(ABMS)=\frac{1}{4}\cdot 144=36cm^{2}$
$E(RJT)=\frac{1}{6}\cdot E(DCLP)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot E(ABCD)=\frac{1}{12}\cdot 48=4cm^{2}$
Παρατηρούμε το παραλληλόγραμμο ABLP

,το σημείο

είναι το σημείο τομής των διαγώνιων

και

.
Άρα

.
Αφού

τότε $KK1=\frac{h}{2}$
Επομένως $E(RTK)=\frac{1}{2}\cdot E(RJT)=2cm^{2}$
Τελικά αφού Eblack=E(BPS)+E(ALM)-E(RJT)-E(RTK)

$Eblack=36+36-4-2=66cm^{2}$

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
H αύξουσα ακολουθία αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του . Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Την παραπάνω λύση του Δημήτρη είχα κατά νου, αλλά ας την γράψω με δικά μου λόγια. Ουσιαστικά λέω ακριβώς το ίδιο πράγμα αλλά, ίσως, προδίδω καθαρότερα την ιδέα πίσω από την σκέψη πριν την λύση:

Η άσκηση μας λέει ότι οι αριθμοί στην ακολουθία είναι εκείνοι που στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης γράφονται με συντελεστές μόνο

ή

(πετάμε όσους έχουν κάποιο δυάρι). Π.χ 10=9+1= 3^2+1=(101)_3

. Αντιστοιχίζουμε τον κάθε αριθμό από αυτούς σε εκείνον που προκύπτει αν τον θεωρήσουμε γραμμένο στο δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα $10=(101)_3\rightarrow (101)_2=5$ .
Τώρα είναι φανερό ότι οι αριθμοί είναι γραμμένοι χωρίς κενά, αρχίζοντας από τον

, και με την ίδια διάταξη (δεν ανακατεύονται).
Δεδομένου ότι 100= 2^6+2^5+2^2=(1100100)_2

, σημαίνει ότι ο εκατοστός αριθμός στην σειρά είναι εκείνος που αντιστοιχίστηκε στον (1100100)_2

, δηλαδή ο (1100100)_3=3^6+3^5+3^2=981

.

Filippos Athos · #10

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 09, 2019 8:39 pm
IMC B3.pngΣτο τραπέζιο οι διχοτόμοι των $\hat{A} , \hat{B}$ τέμνονται στο , ενώ εκείνες των $\hat{C} , \hat{D}$

τέμνονται στο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος . Υπόδειξη : .

Στο τραπέζιο ABCD

οι διχοτόμοι των $\hat{A} , \hat{B}$ τέμνονται στο

, ενώ εκείνες των $\hat{C} , \hat{D}$

τέμνονται στο

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

. Υπόδειξη : (MN)=2

.
[/quote]

Σχηματίζοντας τα ύψη του τραπεζίου παίρνουμε το ορθογώνιο ADZP

συμπεραίνουμε ότι το ZP=5cm

Άρα

Από το Πυθαγώρειο θεώρημα έχουμε
$AZ^{2}+BZ^{2}=10^{2}=100$ και
$DP^{2}+PC^{2}=17^{2}=289$
αφού AZ=DP

επειδή είναι ύψη και BZ=21-PC

, έχουμε:
$AZ^{2}+BZ^{2}=100$ και
$AZ^{2}+(21-BZ)^{2}=289$
$(21-BZ)^{2}-BZ^{2}=189$
BZ=6cm

Τότε

και τα ύψη h=8cm

Προεκτείνουμε τις διχοτόμους AM, DN

προς την

στα σημεία T, K

αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα ABT, CDK

είναι ισοσκελή.
Για το $\triangle ABT$ η $\angle BTA=\angle TAD=\angle TAB$
Με το ίδιο τρόπο για το $\triangle CDK$ η $\angle DKC=\angle ADK=\angle KDC$ ,
επομένως AM=MT

και

(Σ1)

Επίσης AB=BT=10cm

$\Rightarrow ZT=4cm$
DC=CK=17cm

$\Rightarrow KP=2cm$
$\downarrow$
KT=1cm

,

Προεκτείνουμε

προς τα ύψη AZ, DP

στα σημεία E, H

αντίστοιχα.
Από το (Σ1) , $EM=\frac{1}{2}ZT=2cm$ και $NH=\frac{1}{2}KP=1cm$
Τελικά
MN=5-2-1=2cm

KARKAR · #11

: IMC B3.png (16.34 KiB) Προβλήθηκε 1560 φορές

Σχεδιάζω το τραπέζιο ABC'D'

"κονταίνοντας" κατά δύο τις βάσεις του αρχικού . Αυτό τώρα είναι

περιγράψιμο , αφού : 10+17=24+3

, δηλαδή οι διχοτόμοι του τέμνονται στο σημείο

.

Επομένως MN=D'D=2

( παράλληλη μεταφορά ) .

Filippos Athos · #12

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 09, 2019 9:47 pm
Άσκηση
IMC A11.pngΒρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ του σχήματος . Υπόδειξη : $(ABC)=111\sqrt{3}$

Από ποιό κάτω συμπεραίνουμε οτι $AE=X\cdot \sqrt{3}$ .
Εδώ έχω κολλήσει.

IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Μέλη σε σύνδεση