IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Μήπως ενδιαφέρεται κανείς να μεταφράσει τα προβλήματα του IMC Key Stage III- IWYMIC 2019 και να τα λύνουμε μαζί;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Πρόβλημα
.
Τα σημεία
τριχοτομούν την πλευρά
του παραλληλογράμμου
, εμβαδού
.
Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε :

Τα σημεία




Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε :

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019




τέμνονται στο



τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Οκτ 10, 2019 1:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Β1. The increasing sequence
consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθία
αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του
ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του
. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.

integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθία

θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του

διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 amΒ1. The increasing sequenceconsists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθίααποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις τουή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.







Σε κάθε επόμενη δύναμη του "

Αφού χρειαζόμαστε τον

τον



Δηλαδή

- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8261
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Σωστά, αλλά ας δούμε και γιατί ισχύει το μοτίβο:Filippos Athos έγραψε: ↑Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pmΒρήκα το ακόλουθο μοτίβο:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 amΒ1. The increasing sequenceconsists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.
H αύξουσα ακολουθίααποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις τουή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
: 1ος όρος
: 2ος όρος
: 4ος όρος
: 8ος όρος
: 16ος όρος
: 32ος όρος
: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του "" ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τονστο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον, τον
και τον
όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή![]()
Αντιστοιχούμε σε κάθε τέτοιο αριθμό τον αριθμό που λαμβάνεται αν αλλάξουμε τις δυνάμεις του





-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Από το θεώρημα του Θαλή προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις των πλευρών στο σχήμα.

Οπότε

Επομένως


Παρατηρούμε το παραλληλόγραμμο




Άρα

Αφού


Επομένως

Τελικά αφού


- Συνημμένα
-
- 2019 p6 geogebra-export .png (94.34 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Την παραπάνω λύση του Δημήτρη είχα κατά νου, αλλά ας την γράψω με δικά μου λόγια. Ουσιαστικά λέω ακριβώς το ίδιο πράγμα αλλά, ίσως, προδίδω καθαρότερα την ιδέα πίσω από την σκέψη πριν την λύση:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 amH αύξουσα ακολουθίααποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις τουή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Η άσκηση μας λέει ότι οι αριθμοί στην ακολουθία είναι εκείνοι που στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης γράφονται με συντελεστές μόνο




Τώρα είναι φανερό ότι οι αριθμοί είναι γραμμένοι χωρίς κενά, αρχίζοντας από τον

Δεδομένου ότι



-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Στο τραπέζιο




τέμνονται στο



[/quote]
Σχηματίζοντας τα ύψη του τραπεζίου παίρνουμε το ορθογώνιο


Άρα

Από το Πυθαγώρειο θεώρημα έχουμε


αφού






Τότε


Προεκτείνουμε τις διχοτόμους



Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα

Για το


Με το ίδιο τρόπο για το


επομένως


Επίσης







Προεκτείνουμε



Από το (Σ1) ,


Τελικά

- Συνημμένα
-
- 2019 B3.png (121.12 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

περιγράψιμο , αφού :


Επομένως

-
- Δημοσιεύσεις: 51
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019
Από ποιό κάτω συμπεραίνουμε οτι

Εδώ έχω κολλήσει.

- Συνημμένα
-
- 2019-A11.png (75.08 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες