Μέγιστος τοίχος

KARKAR · #1

: Μέγιστος τοίχος.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει πλευρές : AB=AC=5 ,BC=6

. Σημείο

κινείται επί της

.

Ονομάζω P,T

τις προβολές του

επί των

αντίστοιχα . Υπολογίστε το : $(BPST)_{max}$

Παρακαλώ , δημοσιεύστε την λύση σας , μόνον εφόσον έχετε βρει το τελικό αποτέλεσμα

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 09, 2019 12:28 pm
Μέγιστος τοίχος.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει πλευρές : . Σημείο κινείται επί της .

Ονομάζω τις προβολές του επί των αντίστοιχα . Υπολογίστε το : $(BPST)_{max}$

Παρακαλώ , δημοσιεύστε την λύση σας , μόνον εφόσον έχετε βρει το τελικό αποτέλεσμα

Έστω

και

τα ύψη του τριγώνου. Εύκολα με Π. Θ βρίσκω AM=4,

οπότε

και στη συνέχεια $\displaystyle CN = \frac{{24}}{5},AN = \frac{7}{5}.$

: Μέγιστος τοίχος.β.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

$\displaystyle \frac{y}{4} = \frac{{CT}}{3} \Leftrightarrow CT = \frac{{3y}}{4} \Rightarrow (STC) = \frac{{3{y^2}}}{8}$ και ομοίως $\displaystyle (APS) = \frac{{7{x^2}}}{{48}}$

Αλλά, $\displaystyle (ABC) = (ABS) + (BSC) \Leftrightarrow 12 = \frac{{5x}}{2} + \frac{{6y}}{2} \Leftrightarrow y = \frac{{24 - 5x}}{6} \Rightarrow (STC) = \frac{{{{(24 - 5x)}^2}}}{{96}}$

$\displaystyle (BPST) = 12 - (APS) - (STC) = \frac{1}{{32}}( - 13{x^2} + 80x + 192) = - \frac{{13}}{{32}}{\left( {x - \frac{{40}}{{13}}} \right)^2} + \frac{{128}}{{13}} \le \frac{{128}}{{13}}$

που παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{x=\frac{40}{13}}$ ίσο με $\boxed{(BPST)_{max}=\dfrac{128}{13}}$

#3

Το τετράπλευρο BTSP

είναι εγγράψιμο και ο κύκλος του τέμνει ακόμα την

στο

.

Θέτω $TC = x\,\,,\,\,AP = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS = a\,\,,\,\,SE = b\,\,,EA = c$ .

Το τετράπλευρο BTSP

γίνεται μέγιστο όταν το άθροισμα των

$2{E_1} = 2(TCS)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2{E_2} = 2(PSA)$ γίνει ελάχιστο .

: Μέγιστος τοίχος.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Αλλά με ${h_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_2}$ τα ύψη προς τις υποτείνουσες των πιο πάνω τριγώνων έχω:

$2{E_1} + 2{E_2} = a{h_1} + (b + c){h_2} = a|{h_1} - {h_2}| + 5{h_2}$ που γίνεται ελάχιστο αν

${h_1} = {h_2} \Rightarrow PT//AC \Rightarrow \boxed{5x = 6y}\,\,(1)$ .

Αλλά $SC + SA = 5 \Rightarrow \dfrac{x}{{\cos C}} + \dfrac{y}{{\cos A}} = 5 \Rightarrow \boxed{7x + 15y = 21}\,\,(2)$

Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω: $\boxed{x = \frac{{14}}{{13}}\,\,}\,$ Το μέγιστο τότε τετράπλευρο

Ισοδυναμεί με το $\boxed{\left( {ABT} \right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {6 - \frac{{14}}{{13}}} \right) = 12 - \frac{{28}}{{13}}}$

Μέγιστος τοίχος

Μέγιστος τοίχος

Re: Μέγιστος τοίχος

Re: Μέγιστος τοίχος

Μέλη σε σύνδεση