Ομομορφισμοί

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθεί ο αριθμός των ομομορφισμών ( group homomorphism ) $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathcal{S}_3 \times \mathcal{S}_3$ .

#2

Ασφαλώς πρέπει $\phi(0,0) = (\mathrm{id},\mathrm{id})$ . Έστω ότι $\phi(1,0) = (\pi_1,\pi_2)$ και $\phi(0,1) = (\rho_1,\rho_2)$ .

Αναγκαστικά πρέπει $\pi_1^2 = \pi_2^2 = \rho_1^2 = \rho_2^2 = \mathrm{id}$ . Επίσης $\phi(1,1) = \phi(1,0)\phi(0,1) = \phi(1,0)\phi(0,1)$ . Πρέπει λοιπόν $\pi_1\rho_1 = \rho_1 \pi_1$ και $\pi_2\rho_2 = \rho_2\pi_2$ . Αν ισχύουν όλα αυτά τότε θα έχουμε απευθείας και $\phi(1,1)\phi(1,1) = \phi(0,0)$ .

Άρα μένει να ικανοποιήσουμε τις πιο πάνω προϋποθέσεις. Κατ' αρχάς πρέπει $\pi_1,\pi_2,\rho_1,\rho_2 \in \{\mathrm{id},(12),(13),(23)\}$ .

Αν $\pi_1 = \mathrm{id}$ τότε έχουμε 4 επιλογές για το $\rho_1$ ενώ αν $\pi_1 \neq \mathrm{id}$ τότε έχουμε δύο επιλογές για το $\rho_1$ (τις $\mathrm{id}$ και $\pi_1$ ) αφού πρέπει να αντιμετατίθεται με το $\pi_1$ . Συνολικά έχουμε $4 + 3 \cdot 2 = 10$ επιλογές για τα $\pi_1,\rho_1$ και άλλες τόσες για τα $\pi_2,\rho_2$ . Οι επιλογές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους άρα συνολικά υπάρχουν 100

ομομορφισμοί.

Επεξεργασία: Διόρθωση λάθους.

Tolaso J Kos · #3

Έχω ως τελική απάντηση 100.

#4

Λάθος στις πράξεις. Διορθώνω.

Ομομορφισμοί

Ομομορφισμοί

Re: Ομομορφισμοί

Re: Ομομορφισμοί

Re: Ομομορφισμοί

Μέλη σε σύνδεση