Μέσο από συμμετρία

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8495
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μέσο από συμμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 01, 2019 6:33 pm

Μέσο από συμμετρία.png
Μέσο από συμμετρία.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές
Σε τραπέζιο ABCD (AB||CD), είναι CA=CB και η συμμετρική της BD ως προς BA

τέμνει την προέκταση της CA στο E. Να δείξετε ότι η DA διέρχεται από το μέσο της BE.


Ένα 24ωρο για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέσο από συμμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 03, 2019 11:49 am

Ας είναι F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G τα σημεία τομής των AB\,,\,ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB\,,\,EC αντίστοιχα.

Επειδή η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας θα είναι : \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}, ενώ

λόγω παραλληλίας των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB θα είναι : \widehat {{\theta _2}} = \widehat \xi , οπότε \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\xi _{}}}}\,\,(1).

Αλλά CA = CB \Leftrightarrow \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _{}}}, όμως στο \vartriangle AEB η \widehat {{\phi _{}}} είναι εξωτερική και άρα

Μέσο από συμμετρία_oritzin_1.png
Μέσο από συμμετρία_oritzin_1.png (25.39 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{E_{}}} + \widehat {{\theta _1}}. Από τις δύο τελευταίες και αφού \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} θα είναι \boxed{\widehat {{E_{}}} = \widehat {{\xi _{}}}}\,\,\,(2).

Οι (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) μας εξασφαλίζουν ότι: \vartriangle DCB \approx \vartriangle BAE. Μετά απ’ αυτά

Από το Θ. Ceva στο \vartriangle EDB , της παραλληλίας τω βάσεων του τραπεζίου, της πιο πάνω ομοιότητας και του Θ διχοτόμου στο \vartriangle BED θα έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{DF}}{{FE}} \cdot \frac{{EM}}{{MB}} \cdot \frac{{BG}}{{GD}} \hfill \\ 
  \frac{{BG}}{{GD}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{BE}}{{BD}} \hfill \\ 
  \frac{{DF}}{{FE}} = \frac{{BD}}{{BE}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BE}} \cdot \dfrac{{EM}}{{MB}} \cdot \dfrac{{BE}}{{BD}} = 1 \Rightarrow \boxed{EM = MB}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μέσο από συμμετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Οκτ 03, 2019 2:23 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Οκτ 01, 2019 6:33 pm
Μέσο από συμμετρία.png
Σε τραπέζιο ABCD (AB||CD), είναι CA=CB και η συμμετρική της BD ως προς BA

τέμνει την προέκταση της CA στο E. Να δείξετε ότι η DA διέρχεται από το μέσο της BE.


Ένα 24ωρο για μαθητές.
Αλλιώς,

Έστω F\equiv AM\cap BC
Έχουμε \angle MBA=\angle ABD=\angle CDB και \angle BAE=180^{\circ}-\angle CAB=\angle BCD

Άρα \overset{\Delta }{EAB}\sim \overset{\Delta }{DBC}\Rightarrow \dfrac{DC}{BC}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow \dfrac{DC}{AB}=\dfrac{AC}{AE}(1)

Από θ.Μενελάου στο CEB διατέμνουσας \overline{AMF}: \dfrac{FC}{FB}\cdot \dfrac{MB}{ME}\cdot \dfrac{AE}{AC}=1\overset{(1)}{\Leftrightarrow }MB=ME
142.PNG
142.PNG (15.13 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μέσο από συμμετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:46 pm

Καλησπέρα,

FD=\left | \right |AC\Rightarrow\bigtriangleup FDC, \bigtriangleup EAB όμοια και ομοιόθετα ως προς την DN. Επειδή N μέσο του FC\Rightarrow M μέσο του EB
Συνημμένα
meso apo symmetria.png
meso apo symmetria.png (23.22 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέσο από συμμετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 03, 2019 10:18 pm

Altrian έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:46 pm
Καλησπέρα,

FD=\left | \right |AC\Rightarrow\bigtriangleup FDC, \bigtriangleup EAB όμοια και ομοιόθετα ως προς την DN. Επειδή N μέσο του FC\Rightarrow M μέσο του EB
Γεια σου Αλέξανδρε με τα ωραία σου :coolspeak:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέσο από συμμετρία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Οκτ 04, 2019 5:52 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Οκτ 01, 2019 6:33 pm
Μέσο από συμμετρία.png
Σε τραπέζιο ABCD (AB||CD), είναι CA=CB και η συμμετρική της BD ως προς BA

τέμνει την προέκταση της CA στο E. Να δείξετε ότι η DA διέρχεται από το μέσο της BE.


Ένα 24ωρο για μαθητές.

Η παράλληλη από το E προς τις AB,DC τέμνει τις CB στο K και DB στο L κι ας είναι AM \cap EL=N

 \dfrac{CA}{AE}= \dfrac{CB}{BK} \Rightarrow AE=BK \Rightarrow EABK  ισοσκελές τραπέζιο  \Rightarrow x=y \Rightarrow AK//OB

Τώρα,  
 \dfrac{DA}{AN} = \dfrac{CB}{BK}= \dfrac{CO}{OA}= \dfrac{DO}{OB} \Rightarrow NB//OA \Rightarrow ENBA παραλ//μμο ,άρα EM=MB
Μέσο από συμμετρία.png
Μέσο από συμμετρία.png (62.06 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8495
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέσο από συμμετρία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 05, 2019 4:47 pm

Σας ευχαριστώ όλους για τις πολύ ωραίες λύσεις. Ας δούμε άλλη μία.

Έστω \displaystyle MN||AB \Rightarrow \frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{AC}} (1)
Μέσο από συμμετρία.ΙΙ.png
Μέσο από συμμετρία.ΙΙ.png (14.71 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Από τις παραλληλίες και τη συμμετρία, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες κι επειδή \displaystyle C\widehat AB = A\widehat BC, τα τρίγωνα

ENM, BCD είναι όμοια: \displaystyle \frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{EN}}{{BC}} = \frac{{EN}}{{AC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} EN = AN, οπότε και \boxed{EM=MB}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέσο από συμμετρία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 06, 2019 11:53 pm

Μέσο από συμμετρία_oritzin_2.png
Μέσο από συμμετρία_oritzin_2.png (24.66 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Ας είναι T το σημείο τομής των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB. Αν N το μέσο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου BDT ,

η NM θα διέρχεται και από το μέσο O της άλλης βάσης του τραπεζίου ABTD.

Επειδή το τετράπλευρο CNBO είναι ορθογώνιο θα έχω: CN// = OB = OA

άρα το τετράπλευρο CNOA είναι παραλληλόγραμμο , οπότε \overline {NOM} //AE

Αφού τώρα στο \vartriangle EAB το O είναι μέσο του ABθα είναι και το M μέσο του EB.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες