Μέγιστη γωνία 24

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Στο διαστάσεων $a\times b$ ορθογώνιο ABCD

, θεωρούμε σημεία S,T

των

αντίστοιχα ,

ώστε : $AS=\dfrac{a}{4} , BT=\dfrac{b}{4}$ . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ , για τον οποίο μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{SDT}$ .

#2

Η συνάρτηση $y = \tan \theta$ είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο $\left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)$ .

Θα αντιστρέφεται και η αντίστροφή της θα είναι γνήσια αύξουσα .

Αρκεί επομένως να βρούμε πότε η $\tan \theta$ μεγιστοποιέιται.

: μεγίστη γωνία_24.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

Θέτω: $a = bx\,\,,\,\,\widehat {SDA} = \omega \,,\widehat {BDS} = \theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {CDB} = \phi \,\,\mu \varepsilon \,\,\,\omega ,\theta ,\phi \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)$ . Εύκολα έχω:

$\displaystyle \boxed{\tan \theta = \frac{{1 - \tan \omega \cdot \tan \phi }}{{\tan \omega + \tan \phi }} = \frac{{13x}}{{4{x^2} + 12}} = f(x)}$ που παρουσιάζει μέγιστο

Για $\boxed{{x_0} = \frac{a}{b} = \sqrt 3 }$ και είναι $\boxed{\tan \theta = \frac{{13\sqrt 3 }}{{24}}}$

Παρατήρηση:

Επειδή $\tan \omega \cdot \tan \phi = \dfrac{x}{4} \cdot \dfrac{3}{{4x}} = \dfrac{3}{{16}}$ σταθερό , το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν

$\tan \omega = \tan \phi \Rightarrow x = \sqrt 3$ και τότε προφανώς $\tan \theta = \dfrac{{1 - \dfrac{3}{{16}}}}{{\tan \omega + \tan \phi }}$ γίνεται μέγιστη .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 26, 2019 8:43 pm
Μέγιστη γωνία.pngΣτο διαστάσεων $a\times b$ ορθογώνιο , θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα ,

ώστε : $AS=\dfrac{a}{4} , BT=\dfrac{b}{4}$ . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{a}{b}$ , για τον οποίο μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{SDT}$ .

Έστω $\dfrac{a}{b} =x$ .Από Π.Θ είναι $SD= \dfrac{b}{4} \sqrt{16+x^2}$ και $TD= \dfrac{a}{4} \sqrt{ \dfrac{9}{x^2}+16 }$

$\dfrac{BF}{a}= \dfrac{BT}{TC}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow BF= \dfrac{a}{3} \Rightarrow SF= \dfrac{13a}{12}$ και $\triangle SEF \simeq \triangle TCD \Rightarrow \dfrac{SE}{SF}= \dfrac{TC}{TD} \Rightarrow SE= \dfrac{SF . TC}{TD}$

$sin \theta = \dfrac{SE}{SD}= \dfrac{13}{ \sqrt{ \big( \dfrac{12}{x} \big)^2+ \big(4x\big)^2+265 } }$

και ζητούμε για ποιο

η $f(x)= \big( \dfrac{12}{x} \big)^2+ \big(4x\big)^2+265$ παίρνει ελάχιστη τιμή

Αλλά $f(x)=\big( \dfrac{12}{x} \big)^2+ \big(4x\big)^2+265 \geq 2 . \dfrac{12}{x} . 4x +265=361$ και το ίσον ισχύει όταν $\dfrac{12}{x}=4x \Rightarrow x= \sqrt{3}$

Για $x= \sqrt{3} \Rightarrow \big(sin \theta \big)= \dfrac{13}{19}$

: μέγιστη γωνία 24.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Μέγιστη γωνία 24

Μέγιστη γωνία 24

Re: Μέγιστη γωνία 24

Re: Μέγιστη γωνία 24

Μέλη σε σύνδεση