Τόπος εντός παραλληλογράμμου

#1

: Τόπος εντός παραλληλογράμμου.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Στις πλευρές AD, CD

παραλληλογράμμου ABCD,

θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία P, Q,

ώστε

Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

των

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 23, 2019 7:48 pm
Τόπος εντός παραλληλογράμμου.png
Στις πλευρές παραλληλογράμμου θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία

ώστε Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των

Καλησπέρα!

Έστω $AM\cap BC\equiv T$ , AP=QC=x,AB=b,BC=a

Από θεώρημα Μενελάου στο $\overset{\Delta }{DCP}$ διατέμνουσας $\overline{QMA}$ είναι $\dfrac{x}{b-x}\cdot \dfrac{a}{x}\cdot \dfrac{MP}{MC}\Leftrightarrow \dfrac{MP}{MC}=\dfrac{b-x}{x}\overset{\Theta \alpha \lambda \acute{\eta} \varsigma }{\Leftrightarrow} \dfrac{MA}{MT}=\dfrac{b-x}{x}$

Επίσης έχουμε $\dfrac{x}{b-x}=\dfrac{TC}{a}\Leftrightarrow TC=\dfrac{ax}{b-x}$

$\dfrac{AB}{BT}=\dfrac{b}{a+\dfrac{ax}{b-x}}=\dfrac{b-x}{a}=\dfrac{AM}{TM}$

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το τμήμα της διχοτόμου της $\angle B$ μεταξύ των AC,DC

(το πράσινο στο σχήμα)

: 141.PNG (18.48 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

#3

Έστω

σημείο της πλευράς

με

και

το σημείο τομής των ευθειών $BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ . Θέτω ακόμα : $TB = DQ = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = AD = b$ .

Από τα όμοια τρίγωνα $MBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSP$ έχω: $\boxed{\frac{{MC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{PS}} \Leftrightarrow \frac{{MC}}{{MP}} = \frac{b}{{PS}}}\,\,\,(1)$

Από το Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle DPC$ με διατέμνουσα $\overline {QMA}$ έχω και λόγω της (1)

:

$\boxed{\frac{{DA}}{{AP}} \cdot \frac{{PM}}{{MC}} \cdot \frac{{CQ}}{{QD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{b}{x} \cdot \frac{{PS}}{b} \cdot \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow PS = y}\,\,(2)$

: Τόπος εντός παραλληλογράμμου_oritzin.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι το τρίγωνο ABS

είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Άμεση συνέπεια : $\widehat S = \widehat {{\theta _1}}\,\,\,\,$ και αφού $AS//BC \Leftrightarrow \widehat S = \widehat {{\theta _2}}$ , θα είναι $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}}$ .

Ο γεωμετρικός τόπος που ζητάμε είναι το τμήμα της διχοτόμου

που εκτείνεται

Ανάμεσα στα σημεία τομής της με την διαγώνιο $AC\,\,$ και τη πλευρά

.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ σε όλους , ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον Σιλουανό!

: Τόπος..G.V.PNG (8.47 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Φέρω τα ύψη ML,MN

των τριγώνων MAB

και

.
Σύμφωνα με το θέμα Λόγοι παράγουν νέο λόγο(απόδειξη εκεί από τον θεματοθέτη του παρόντος ..

)

παίρνουμε $\dfrac{\left ( MBC \right )}{\left ( MAB \right )}=\dfrac{BC}{AB}\cdot \dfrac{CQ}{AP}$ $\Leftrightarrow \dfrac{MN\cdot BC}{ML\cdot AB}=\dfrac{BC}{AB}\cdot \dfrac{CQ}{AP}$ .

Στο παρόν θέμα ισχύει ειδικά CQ=AP

, άρα

δηλ. η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{B}$ .

Ο τόπος λοιπόν του

είναι το πράσινο τμήμα της διχοτόμου στο εσωτερικό του τριγώνου DAC

. Φιλικά , Γιώργος.

#5

Ευχαριστώ τον Πρόδρομο, το Νίκο και το Γιώργο για τις λύσεις τους και δίνω έναν άλλο τρόπο για την απόδειξη της διχοτόμου. Έστω ότι η

τέμνει την

στο

: Τόπος εντός παραλληλογράμμου.β.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

$\displaystyle \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AP}}{{CN}} = \frac{{QC}}{{CN}} = \frac{{AB}}{{BN}}$ και το ζητούμενο έπεται.

Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Re: Τόπος εντός παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση