Παραγωγίσιμες και συνεχείς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παραγωγίσιμες και συνεχείς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Σεπ 13, 2019 7:52 am

Έστω \mathcal{F} η οικογένεια των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε για κάθε ζευγάρι x, y \in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}
Δείξατε ότι κάθε συνάρτηση στο \mathcal{F} είναι \mathcal{C}^\infty.


Άνευ λύσης!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραγωγίσιμες και συνεχείς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 13, 2019 10:34 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Σεπ 13, 2019 7:52 am
Έστω \mathcal{F} η οικογένεια των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε για κάθε ζευγάρι x, y \in \mathbb{R} να ισχύει:

\displaystyle{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}
Δείξατε ότι κάθε συνάρτηση στο \mathcal{F} είναι \mathcal{C}^\infty.


Άνευ λύσης!
Είναι γνωστή.
Κυκλοφορεί με το να βρεθούν όλες αυτές οι συναρτήσεις.
Δεν μαρτυράω ποιες είναι μήπως κάποιος θέλει να ασχοληθεί.
Σίγουρα έχει λυθεί στο :logo:
Μάλιστα θα είναι σε φάκελο Γ Λυκείου.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραγωγίσιμες και συνεχείς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 16, 2019 1:50 pm

Η αρχική διατύπωση είναι τελείως παραπλανητική.
Αφού δεν την βρίσκει κανείς γράφω μια λύση.
Να σημειώσω ότι την ξέρω από το 1975.Την έχω συναντήσει πολλές φορές κυρίως ως σχολική.

Για
x+\frac{1}{2},x-\frac{1}{2}
η σχέση γράφεται
\displaystyle f(x+\frac{1}{2})-f(x-\frac{1}{2})=f'(x)
Το αριστερό μέλος είναι παραγωγίσημη συνάρτηση .
Αρα είναι και το δεξί.
Αρα f'' υπάρχει.
Γράφοντας την σχέση ως \displaystyle f(x)-f(y)=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}(x-y)
παραγωγίζοντας πρώτα ως προς x για y σταθερό και μετά ανάποδα
παίρνουμε

\displaystyle f'(x)=f''\left(\frac{x+y}{2}\right)}(x-y)\frac{1}{2}+f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}

\displaystyle -f'(y)=f''\left(\frac{x+y}{2}\right)}(x-y)\frac{1}{2}-f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}

αφαιρόντας κατα μέλη προκύπτει

\displaystyle f'(y)+f'(x)=2f'(\frac{x+y}{2})

παραγωγίζοντας πρώτα ως προς x για y σταθερό και μετά ανάποδα την τελευταία
έχουμε
\displaystyle f''(x)=f''(\frac{x+y}{2})=f''(y)

Αρα f'' είναι σταθερή όποτε

\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c

που προφανώς ικανοποιεί την συνθήκη.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8249
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Παραγωγίσιμες και συνεχείς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 17, 2019 3:50 pm

Διαφορετικά.

Έστω t \neq 0. Τότε \displaystyle  f(x+2t) - f(x+t) = tf'\left( \tfrac{2x+3t}{2}\right) και \displaystyle  f(x+3t) - f(x) = 3tf'\left( \tfrac{2x+3t}{2}\right).

Άρα \displaystyle  f(x+3t) - 3f(x+2t) + 3f(x+t) - f(x) = 0 για κάθε x και κάθε t \neq 0. Προφανώς ισχύει και για t=0.

Ορίζουμε g(x) = f(x+t) - f(x) και h(x) = g(x+t) - g(t) και παίρνουμε διαδοχικά g(x+2t) - 2g(x+t) + g(x) = 0 και h(x+t) = h(x). Αυτές ισχύουν για κάθε x,t άρα η h είναι σταθερή και διαδοχικά η g είναι γραμμική και η f πολυώνυμική βαθμού το πολύ 2.

Ας παρατηρήσουμε ότι και η εμφάνιση του f' είναι παραπλανητική. Η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν \displaystyle  \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = g(x+y) για κάποιες συναρτήσεις f,g και κάθε x\neq y τότε η f είναι πολυώνυμική βαθμού το πολύ 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες