Όριο ακεραίου μέρους

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\sin \frac{1}{x}} \right \rfloor}$

Μάρκος Βασίλης · #2

Από τη βασική ανισότητα:

$y-1\leq\lfloor y\rfloor\leq y,$

για $y=\dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}$ έχουμε:

$\displaystyle \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}-1\leq\left\lfloor \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}\right\rfloor\leq\dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}.$

Καθώς $x\to+\infty$ , τελικά θα είναι x>0

, οπότε, πολλαπλασιάζοντας με $\dfrac{1}{x}$ έχουμε:

$\displaystyle\dfrac{1}{x\sin\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}\leq\frac{1}{x}\left\lfloor \dfrac{1}{\sin\frac{1}{x}}\right\rfloor\leq \dfrac{1}{x\sin\frac{1}{x}}.$

Υπολογίζουμε το όριο:

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\sin\frac{1}{x}}\underset{y\to0^+}{\overset{y=1/x}{=}}\lim_{y\to0^+}\frac{1}{\frac{\sin y}{y}}=1.$

Έτσι, έχουμε και ότι:

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\sin\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}=1-0=1,$

επομένως, από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι $\ell=1$ .

Tolaso J Kos · #3

Να το συνεχίσουμε;

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\tan \frac{1}{x}} \right \rfloor}$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 20, 2019 3:06 pm
Να το συνεχίσουμε;

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{\tan \frac{1}{x}} \right \rfloor}$

Δεν αλλάζει τίποτα ουσιαστικό από το προηγούμενο.

Με u=1/x>0

έχουμε $\displaystyle{u \left ( \dfrac {1}{\tan u} -1 \right ) \le u\left \lfloor \dfrac{1}{\tan u} \right \rfloor} \le \dfrac {u}{\tan u}}$

Όριο στο

δίνει $\displaystyle{1-0 \le \lim_{u\rightarrow 0+} u\left \lfloor \dfrac{1}{\tan u} \right \rfloor} \le 1}$ , και λοιπά.

Μάρκος Βασίλης · #5

Αυτό γενικεύεται και ως εξής: Αν $f:(0,\epsilon)\to\R$ , $\epsilon>0$ , συνάρτηση τέτοια ώστε:

$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=c\neq0$ ,

τότε:

$\displaystyle\ell:=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\left\lfloor\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right\rfloor=\frac{1}{c}.$

Όριο ακεραίου μέρους

Όριο ακεραίου μέρους

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Re: Όριο ακεραίου μέρους

Μέλη σε σύνδεση