Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ συνεχώς διαφορίσιμη. Υποθέτουμε ότι ο Ιακωβιανός πίνακας $\displaystyle \left ( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right )$ έχει βαθμίδα

παντού. Επίσης υποθέτουμε ότι το $f^{-1}(K)$ είναι συμπαγές όταν το

είναι συμπαγές. Να δειχθεί ότι $f \left ( \mathbb{R}^n \right ) = \mathbb{R}^n$ .

Άνευ λύσης!

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἀφοῦ ἡ

εἶναι συνεχῶς διαφορίσιμη καὶ ἔχει ἀντιστρέψιμο διαφορικό, τότε εἶναι ἀνοικτὴ ἀπεικόνιση (Inverse Function Theorem). Ἄρα $f[\mathbb R^n]$ ἀνοικτό. Ἔστω $\mathbb R^n\setminus f[\mathbb R^n]\ne\varnothing$ καὶ $y_0\in \partial f[\mathbb R^n]\ne\varnothing$ . Προφανῶς $y_0\not \in f[\mathbb R^n]$ , ἀφοῦ

ἀνοικτή. Τότε $\overline{B}(y_0,1)$ συμπαγὲς καὶ ἐξ ὑποθέσεως, $f^{-1}[\overline{B}(y_0,1)]\ne\varnothing$ ἐπίσης. Ἰδιαιτέρως, ἄν $y_n\to y_0$ , καὶ $\{y_n\}\subset f[\mathbb R^n]\cap \overline{B}(y_0,1)$ , καὶ $\{x_n\}\in f^{-1}[\overline{B}(y_0,1)]$ , ὥστε f(x_n)=y_n

, τότε ἡ $\{x_n\}$ ἔχει συγκλἰνουσα ὑπακολουθία $\{z_n\}$ μὲ ὅριο $z_0\in f^{-1}[\overline{B}(y_0,1)]$ καὶ $f(z_n)\to f(z)\in f[\mathbb R^n]$ . Ταυτοχρὀνως, $f(z_n)\to y_0$ . Ἄτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λίγο διαφορετικά ως προς το δεύτερο του Γιώργου.

Όπως ο Γιώργος το

$f[\mathbb R^n]$ ανοικτό.

Θα δείξω ότι είναι και κλειστό.

Εστω $y_{k}\in f[\mathbb R^n],k\in \mathbb{N}$
με
$y_{k}\rightarrow y$
το σύνολο
$K=\left \{ y_{k}:k\in \mathbb{N} \right \}\cup \left \{ y \right \}$
είναι συμπαγές.

Αν $f(x_{k})=y_{k}$

τότε
$x_{k}\in f^{-1}(K)$

που είναι συμπαγές.

Αρα υπάρχει $x_{m_{k}}\rightarrow x$

Αμεσο λόγω συνέχειας είναι ότι f(x)=y

συμπεραίνουμε ότι το
$f[\mathbb R^n]$ κλειστό.

Αφού δεν είναι κενό η συνεκτικότητα μας δίνει ότι

$f[\mathbb R^n]= \mathbb R^n$

Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Re: Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Re: Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση