Ομοκυκλικά και τόπος

KARKAR · #1

: Ομοκυκλικά και τόπος.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές

Το σημείο

κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος

. Με διαμέτρους AS,SB

γράφουμε

στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλια και σχεδιάζουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους

. Α) Δείξτε ότι

τα σημεία A,P,T,B

είναι ομοκυκλικά ... Β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του

.

jimth · #2

Έστω C και D τα μέσα των AS και SB αντίστοιχα. Φέρνουμε τισ CP, PS, ST και TD. Είναι:
$\widehat{CPS}=\widehat{CSP}, \widehat{STD}=\widehat{DST}, \widehat{CPS}+\widehat{SPT}=90^{\circ}, \widehat{DTS}+\widehat{STP}=90^{\circ}, \widehat{PSC}+\widehat{PST}+\widehat{TSB}=180^{\circ}$
και παίρνουμε $\widehat{PST}=90^{\circ}$ , $\widehat{SPT}+\widehat{PTS}=90^{\circ}=\widehat{PAB}+\widehat{BTD}$ .
Το APTB είναι εγγράψιμο, επειδή $\widehat{PAB}+\widehat{PTB}=180^{\circ}$ και επομένως τα A,P,T,B είναι ομοκυκλικά.

#3

Η ευθεία

είναι ο ριζικός άξονας των δύο ημικυκλίων .

Επειδή , $\widehat {APS} = \widehat {STB} = 90^\circ$ και $\boxed{SM = \frac{{PT}}{2}}$ αν οι $AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ τέμνονται στο

το ττετράπλευρο SPCT

είναι ορθογώνιο και στο ορθογώνιο τρίγωνο CAB

το

είναι

το μέσο του ύψους του

. Άμεσες συνέπειες:

α) $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat \theta \hfill \\ \widehat {{a_2}} = \widehat \theta \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}}$ και άρα το τετράπλευρο APTB

είναι εγγράψιμμο.

: Ομοκυκλικά και τόπος.png (39.72 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές

β) Άν σε ημικύκλιο διαμέτρου

μεταβλητό σημείο του

προβάλλεται στη διάμετρο στο

, κάθε εσωτερικό σταθερό σημείο,

, του

διαγράφει ημιέλλειψη, εδώ το μέσο

θα διαγράφει ημιέλλειψη με

μεγάλο άξονα

και μικρό το μισό του

.

Παρατήρηση :
Αν OA = OB = a

και $C(k,m)\,\,,\,\,M(x,y)$ με k,m,x,y > 0

θα ισχύουν :

$\left\{ \begin{gathered} {k^2} + {m^2} = {a^2} \hfill \\ x = k \hfill \\ y = \frac{m}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {k^2} + {m^2} = {a^2} \hfill \\ x = k \hfill \\ m = 2y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = {a^2}$

: Έλλειψη απο κύκλο.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές

Άρα $\boxed{\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} = 1}$

Εστίες : $\boxed{{E_1}\left( { - \dfrac{a}{2}\sqrt 3 ,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{E_2}\left( {\dfrac{a}{2}\sqrt 3 ,0} \right)\,}$

Ομοκυκλικά και τόπος

Ομοκυκλικά και τόπος

Re: Ομοκυκλικά και τόπος

Re: Ομοκυκλικά και τόπος

Μέλη σε σύνδεση