


στις ίσες πλευρές


οι οποίες τέμνουν τις



Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Μια και δεν έχουν εμφανισθεί συνθετικές λύσεις ... ιδού μία αναλυτική λύση:
Θανάση, όντως, πρόσφατα πέρασα το κατώφλι της μεγάλης ηλικίας ( 70+ ), αλλά με παρηγορεί το ότι για τα επόμενα πέντε χρόνια θα ανήκω στους "μικρούς" από τους "μεγάλους" ( πρώτη πενταετία των 70 έως 85 ) και ελπίζω να μπορώ να συμμετέχω σε γεωμετρικά δρώμενα στο αγαπημένο μαςKARKAR έγραψε:...Ευκαιρία να ξαναθυμηθούμε τον μεγάλο Κώστα Βήττα !
vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνομε
και ας είναι
, ο κύκλος που εφάπτεται των πλευρών του
, στα σημεία
, αντιστοίχως. Από τυχόν σημείο έστω
, στην προέκταση της
προς το μέρος του
, φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου
οι οποίες τέμνουν την δια του σημείου
παράλληλη ευθεία προς την
, στα σημεία
, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι
.
vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνομε
και έστω
, το μέσον της
. Γράφουμε τον κύκλο έστω
ο οποίος εφάπτεται των
στα σημεία
αντιστοίχως και ας είναι
, τυχόν σημείο της πλευράς
. Οι εφαπτόμενες του κύκλου
από το σημείο
, τέμνουν την
στα σημεία
. Αποδείξτε ότι
.
vittasko έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 12, 2019 12:43 amΑς δούμε μία άλλη σκέψη, για την απόδειξη του ισοδύναμου ζητούμενου, εμπνευσμένη από την υπόδειξη του Θανάση για εφαρμογή του Θεωρήματος Newton.
Έστω, τα μέσα των διαγωνίων
αντιστοίχως, του περιγεγραμμένου περί τον κύκλο
τετραπλεύρου
και σύμφωνα με το Θεώρημα Newton (b), έχουμε ότι τα σημεία
είναι συνευθειακά.
Επειδή τα σημείαανήκουν στην ευθεία
, προκύπτει ότι και το μέσον
του
ανήκει επίσης στην ίδια ευθεία.
Από τα τρίγωνατώρα, με
και
,
έχουμε![]()
και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. "Το σοφό είναι και απλό", όπως είχε γράψει στον "ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ" ο αείμνηστος Θεόφιλος Χρυσοστομίδης.
Θανάση ας πω κατ' αρχήν ότι δύσκολα μπορεί να πει κανείς, για οποιαδήποτε άσκηση, ότι είναι επιπέδου υψηλοτέρου πχ της ΙΜΟ. Δεν ξέρω βέβαια τι γίνεται στην περίπτωση που η άσκηση απαιτεί (?) προβολικούς μετασχηματισμούς ή/και 'προχωρημένα' θεωρήματα (πχ Newton), αλλά η συγκεκριμένη επιλύεται ΚΑΙ αναλυτικά χωρίς πολλές πράξεις, οπότε ίσως και να θεωρείται εύκολη για ΙΜΟ κλπKARKAR έγραψε: ↑Δευ Σεπ 09, 2019 8:30 amΓιώργο , καλημέρα !
Η άσκηση είναι από την. Παρουσιάζονται δύο λύσεις . Η πρώτη αξιοποιεί
το Θεώρημα Newton για περιγράψιμα τετράπλευρα , για το οποίο μπορεί κανείς να πάρει πληροφορίες από εδώ .
Ευκαιρία να ξαναθυμηθούμε τον μεγάλο Κώστα Βήττα !
Η άλλη είναι μάλλον δυσκολότερη . Θεώρησα πιθανό να βρεθεί μια κάπως στοιχειωδέστερη λύση ,
αλλά φαίνεται πως δεν προκύπτει , η άσκηση επομένως είναι για υψηλοτέρου επιπέδου φάκελο ...
Αρχικά η άσκηση ήταν σε χαμηλότερο φάκελο Θαλή/Ευκλείδη αν θυμάμαι καλά. Σε αυτό αναφέρεται το "υψηλότερο φάκελο". Νομίζω σωστά μεταφέρθηκε.gbaloglou έγραψε: ↑Παρ Σεπ 13, 2019 10:59 pm
Θανάση ας πω κατ' αρχήν ότι δύσκολα μπορεί να πει κανείς, για οποιαδήποτε άσκηση, ότι είναι επιπέδου υψηλοτέρου πχ της ΙΜΟ. Δεν ξέρω βέβαια τι γίνεται στην περίπτωση που η άσκηση απαιτεί (?) προβολικούς μετασχηματισμούς ή/και 'προχωρημένα' θεωρήματα (πχ Newton), αλλά η συγκεκριμένη επιλύεται ΚΑΙ αναλυτικά χωρίς πολλές πράξεις, οπότε ίσως και να θεωρείται εύκολη για ΙΜΟ κλπ![]()
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες