Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

#1

: Πολλά δίνω...png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

Στο τετράπλευρο ABCD

του σχήματος ισχύουν τα παρακάτω:
$\displaystyle \bullet$ $A\widehat DC = 135^o$

$\displaystyle \bullet$ $A\widehat DB - A\widehat BD = 2 D\widehat AB = 4 C\widehat BD$ .

$\displaystyle \bullet$ $BC = CD\sqrt2$

Να δείξετε ότι AB = BC + AD.

#2

Κατασκευή-Απόδειξη .

Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , KDC

με υποτείνουσα DC = a

.

Στην προέκταση της

προς το

θεωρώ σημείο

με $b = CB = a\sqrt 2$ .

Από το

φέρνω παράλληλη στην

και το συμμετρικό

του

ως προς αυτή.

Προφανώς $\widehat {BDT} = 2\widehat {DBC} = 2\widehat \xi \,\,$ . Από το $\vartriangle DBC$ και Θ. Συνημίτονου έχω :

$DB = a\sqrt 5$ ενώ με το Θ. ημιτόνου στο ίσιο τρίγωνο βρίσκω :

$\sin \xi = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \cos \xi = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \boxed{\cos 2\xi = \frac{4}{5}}$ . Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle DBT$

Προκύπτει: $\boxed{BT = b = a\sqrt 2 }\,\,(1)$ . Ο κύκλος $\left( {B,a\sqrt 2 } \right)$ τέμνει ακόμα την

στο

.

Οι

και

τέμνονται στο

Το τετράπλευρο ABCD

είναι αυτό που θέλουμε .

: Πολλά δίνω.png (27.59 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Επειδή

( κάθετες στην ίδια ευθεία) θα είναι και το τρίγωνο ADE

ισοσκελές, συνεπώς AB = AD + BC

.

Επί πλέον : $\boxed{\frac{{\widehat {BDA} - \widehat {ABD}}}{2} = \widehat {BDE} = 2\widehat \xi }$

( Γνωστή πρόταση για την ημιδιαφορά γωνιών τριγώνου)

Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

Re: Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

Μέλη σε σύνδεση