Αντιστρέψιμος πίνακας

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Αντιστρέψιμος πίνακας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 31, 2019 10:05 am

Έστω A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο A-B να είναι αντιστρέψιμος. Συμβολίζουμε με \mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι ο A+B-AB είναι αντιστρέψιμος.


Μέχρι 2 Σεπτέμβρη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 03, 2019 11:11 am

Ας το κλείσουμε και αυτό. Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο αλλά το πρώτο που βρήκα είναι το πιο κάτω:

Χρησιμοποιώντας ότι A^2=A και B^2=B έχουμε

(A-B)(A+B-AB) = A+AB-AB-BA-B+BAB = A-BA-B+BAB = (I-BA)(A-B)

Αφού ο A-B είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο I-BA είναι αντιστρέψιμος. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει αυτό. Τότε υπάρχει v \neq 0 ώστε (I-BA)v=0 άρα και BAv = v. Τότε Bv = B^2Av = BAv = v. Αν Av=v τότε θα είχαμε και (A-B)v=Av-Bv=v-v=0, άτοπο αφού A-B αντιστρέψιμος. Άρα Av=u\neq v. Τότε Au = A^2v = Av = u και Bu = BAv=v. Τότε όμως (A-B)(u-v) = Au-Av-Bu+Bv = u-u-v+v πάλι άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 03, 2019 12:43 pm

Ωραία Δημήτρη. Παραθέτω όλη την άσκηση.

Έστω A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο A-B να είναι αντιστρέψιμος και \alpha, \beta \in \mathbb{C}. Συμβολίζουμε με \mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι:
  1. αν \alpha \notin \{0,-1\} τότε ο \mathbb{I}+\alpha AB δεν είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος.
  2. αν \alpha \in \{0,-1\} τότε ο \mathbb{I}+\alpha AB είναι αντιστρέψιμος.
  3. ο A+B-AB είναι αντιστρέψιμος.
  4. αν \alpha \beta \neq 0 τότε ο \alpha A+\beta B είναι αντιστρέψιμος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 03, 2019 3:49 pm

Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί.

Έστω \alpha \neq 0,-1. Θέτουμε A =\begin{pmatrix} 
0 & 0 \\ -1/\alpha & 1 
\end{pmatrix} και B =\begin{pmatrix} 
1 & 1 \\ 0 & 0 
\end{pmatrix} . Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι A^2=A και B^2=B. Επίσης, \displaystyle  A-B =\begin{pmatrix} 
-1 & -1 \\  -1/\alpha & 1 
\end{pmatrix}. Έχουμε \det(A-B) = -1 - \tfrac{1}{\alpha} \neq 0. Οπότε ο A-B είναι αντιστρέψιμος. Αλλά AB =\begin{pmatrix} 
0 & 0 \\ 
-1/\alpha & -1/\alpha 
\end{pmatrix} οπότε ο I + \alpha AB =\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ -1 & 0 
\end{pmatrix} δεν είναι αντιστρέψιμος. Αυτό αποδεικνύει το (i).

Τέλος για το (iv) ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι (\alpha A + \beta B)v = 0 για κάποιο v \neq 0. Υποθέτουμε ότι Av=u. Τότε Au = A^2v = Av  =u, Bv = -\frac{\alpha}{\beta}Av = -\frac{\alpha}{\beta}u και τέλος Bu = -\frac{\beta}{\alpha}B^2v = -\frac{\beta}{\alpha}Bv = u.

Αφού τώρα είναι Au=u και Bu = u τότε (A-B)u = 0. Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν u=0. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση έχουμε Av=Bv=0 που δίνει (A-B)v=0 το οποίο είναι άτοπο αφού v \neq 0.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 03, 2019 4:35 pm

:coolspeak:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες