Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί.
Έστω

. Θέτουμε

και

. Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι

και

. Επίσης,

Έχουμε

. Οπότε ο

είναι αντιστρέψιμος. Αλλά

οπότε ο

δεν είναι αντιστρέψιμος. Αυτό αποδεικνύει το (i).
Τέλος για το (iv) ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι

για κάποιο

. Υποθέτουμε ότι

. Τότε

,

και τέλος

.
Αφού τώρα είναι

και

τότε

. Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν

. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση έχουμε

που δίνει

το οποίο είναι άτοπο αφού

.