Σαν l'Hopital

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω συναρτήσεις f,g

παραγωγίσιμες στο (0,1]

με

στο διάστημα αυτό και

$\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=$ πραγματικός ή άπειρο.

Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=$ πραγματικός ή άπειρο ανεξάρτητα από το αν αυτό είναι

απροσδιόριστη μορφή ή όχι.

Μάρκος Βασίλης · #2

Ωραίο πρόβλημα. Έκανα κάποιες πρόχειρες σκέψεις για μία ειδική περίπτωση, αλλά πρώτα ας παρουσιάσω το γενικό μου σκεπτικό.

Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι (εφ' όσον η

έχει θετική παράγωγο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα το όριό της στο 0 θα υπάρχει - είτε αριθμός είτε $-\infty$ .):
$a=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)},\ b=\lim\limits_{x\to0^+}g(x).$
Έστω τώρα ότι το

είναι πεπερασμένο και έστω $\epsilon>0$ και $\epsilon'=\frac{\epsilon}{2}$ , οπότε υπάρχει ένα $\delta>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $0<x<\delta$ :
$a-\epsilon'<\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Διαδοχικά, έχουμε, για κάποιο $0<t<\delta$ :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σε αυτό το σημείο θεωρούμε ένα $\delta'>0$ (χωρίς βλάβη της γενικότητας, $\delta'<\delta$ ), τέτοιο ώστε για κάθε $0<t<\delta'$ τα g(t),b

να είναι ομόσημα (αν b=0

τότε θα έχουμε g(t)>0

). Διαιρούμε τώρα την παραπάνω ανισότητα με -g(t)

οπότε, αν $b\geq0$ η φορά αλλάζει ενώ στην αντίθετη περίπτωση η φορά παραμένει ίδια.

Εδώ, θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση όπου $b=-\infty$ , οπότε η φορά δεν θα αλλάζει:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Τώρα, έπεται ότι:
$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)}=0,$
επομένως θα υπάρχει ένα $0<\delta''<\delta'$ τέτοιο ώστε:
$-\epsilon'<\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)}<\epsilon',$
και έτσι, τελικά έχουμε:
$a-2\epsilon'<\frac{f(t)}{g(t)}<a+2\epsilon',$
από όπου έπεται το ζητούμενο.

Για τη γενική περίπτωση, φαντάζομαι, εφ' όσον τα όρια:
$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)},$
υπάρχουν, απλώς δεν είναι ίσα, θα χρειάζεται κάποιο τέχνασμα (κάποια προσθαφαίρεση, π.χ. του αριθμητικού τους μέσου ή κάτι τέτοιο) για να έρθουμε στην προηγούμενη κατάσταση.

Θα το ξανασκεφτώ και αύριο με καθαρότερο μυαλό.

Ελπίζω να βοήθησε κάπως!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 4:41 pm
Έστω συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο με στο διάστημα αυτό και

$\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=$ πραγματικός ή άπειρο.

Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=$ πραγματικός ή άπειρο ανεξάρτητα από το αν αυτό είναι

απροσδιόριστη μορφή ή όχι.

Ωραία πρόταση.
Θεωρώ γνωστά τα εξής:
1)Αν η

είναι μονότονη συνάρτηση τότε το $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$
υπάρχει.
2)Αν
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=l$ με $l\in \mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$
και
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=-\infty$
τότε και
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{{f}(x)}{{g}(x)}=l$
3)Αν
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=m,\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=r$
με $m,r\in \mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$
τότε η το
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}$

θα υπάρχει η θα έχουμε απροσδιόριστη μορφή.

Είναι φανερό λόγω του 1) ότι το $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)$
υπάρχει

Εστω $\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=l$ .
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $l\geq 0$
(αλλιώς παίρνουμε την

)

Αν

τότε

κοντά στο

.

Λόγω του 1) το $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$ υπάρχει και λόγω του 3)τελειώσαμε.

Εστω ότι l=0

.
Αν
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=-\infty$ λόγω του 2) τελειώσαμε.
Εστω
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=m$ με $m\in \mathbb{R}$ (*)

Για δύο ακολουθίες $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ , $(y_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
θετικών όρων
με
$x_{n}\rightarrow 0,y_{n}\rightarrow 0,x_{n}\neq y_{n}$
το γενικευμένο θεώρημα μεσης τιμής δίνει
$f(x_{n})-f(y_{n})=(g(x_{n})-g(y_{n}))\dfrac{f'(c_{n})}{g'(c_{n})}$ (**)

με $c_{n}\rightarrow 0$ .

Αλλά λόγω της (*) $g(x_{n})-g(y_{n})\rightarrow 0$ οπότε η( **)
δίνει ότι
$f(x_{n})-f(y_{n})\rightarrow 0$
Από το τελευταίο συμπεραίνουμε ότι το
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$
υπάρχει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 8:43 pm
Ωραίο πρόβλημα. Έκανα κάποιες πρόχειρες σκέψεις για μία ειδική περίπτωση, αλλά πρώτα ας παρουσιάσω το γενικό μου σκεπτικό.

Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι (εφ' όσον η έχει θετική παράγωγο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα το όριό της στο 0 θα υπάρχει - είτε αριθμός είτε $-\infty$ .):
$a=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{g(x)},\ b=\lim\limits_{x\to0^+}g(x).$
Έστω τώρα ότι το είναι πεπερασμένο και έστω $\epsilon>0$ και $\epsilon'=\frac{\epsilon}{2}$ , οπότε υπάρχει ένα $\delta>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $0<x<\delta$ :
$a-\epsilon'<\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Διαδοχικά, έχουμε, για κάποιο $0<t<\delta$ :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle&(a-\epsilon')g'(x)<f'(x)<(a+\epsilon')g'(x)\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow&(a-\epsilon')\int_t^\delta g'(x)dx<\int_t^\delta f'(x)dx<(a+\epsilon')\int_t^\delta g'(x)dx\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow&(a-\epsilon')\int_t^\delta g'(x)dx+\int_\delta^1f'(x)dx-f(1)<\int_t^\delta f'(x)dx+\int_\delta^1f'(x)dx-f(1)<\\ &<(a+\epsilon')\int_t^\delta g'(x)dx+\int_\delta^1f'(x)dx-f(1)\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow&(a-\epsilon')\int_t^\delta g'(x)dx-f(\delta)<\int_t^1 f'(x)dx-f(1) <(a+\epsilon')\int_t^\delta g'(x)dx-f(\delta)\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow&(a-\epsilon')(g(\delta)-g(t))-f(\delta)<-f(t) <(a+\epsilon')(g(\delta)-g(t))-f(\delta).$
Σε αυτό το σημείο θεωρούμε ένα $\delta'>0$ (χωρίς βλάβη της γενικότητας, $\delta'<\delta$ ), τέτοιο ώστε για κάθε $0<t<\delta'$ τα να είναι ομόσημα (αν τότε θα έχουμε ). Διαιρούμε τώρα την παραπάνω ανισότητα με οπότε, αν $b\geq0$ η φορά αλλάζει ενώ στην αντίθετη περίπτωση η φορά παραμένει ίδια.

Εδώ, θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση όπου $b=-\infty$ , οπότε η φορά δεν θα αλλάζει:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle&(a-\epsilon')\frac{(g(\delta)-g(t))}{-g(t)}+\frac{f(\delta)}{g(t)}<\frac{f(t)}{g(t)}<(a+\epsilon')\frac{(g(\delta)-g(t))}{-g(t)}+\frac{f(\delta)}{g(t)}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow&(a-\epsilon')\left(1-\frac{g(\delta)}{g(t)}\right)+\frac{f(\delta)}{g(t)}<\frac{f(t)}{g(t)}<(a+\epsilon')\left(1-\frac{g(\delta)}{g(t)}\right)+\frac{f(\delta)}{g(t)}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow&(a-\epsilon')+\frac{f(\delta)-(a-\epsilon')g(\delta)}{g(t)}<\frac{f(t)}{g(t)}<(a+\epsilon')+\frac{f(\delta)-(a+\epsilon')g(\delta)}{g(t)}.$
Τώρα, έπεται ότι:
$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)}=0,$
επομένως θα υπάρχει ένα $0<\delta''<\delta'$ τέτοιο ώστε:
$-\epsilon'<\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)}<\epsilon',$
και έτσι, τελικά έχουμε:
$a-2\epsilon'<\frac{f(t)}{g(t)}<a+2\epsilon',$
από όπου έπεται το ζητούμενο.

Για τη γενική περίπτωση, φαντάζομαι, εφ' όσον τα όρια:
$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)},$
υπάρχουν, απλώς δεν είναι ίσα, θα χρειάζεται κάποιο τέχνασμα (κάποια προσθαφαίρεση, π.χ. του αριθμητικού τους μέσου ή κάτι τέτοιο) για να έρθουμε στην προηγούμενη κατάσταση.

Θα το ξανασκεφτώ και αύριο με καθαρότερο μυαλό.

Ελπίζω να βοήθησε κάπως!

Στην αρχή νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό.

Αντί

$a=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{g(x)},\ b=\lim\limits_{x\to0^+}g(x).$

νομίζω πως θέλει

$a=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)},\ b=\lim\limits_{x\to0^+}g(x).$

Στην ουσία .
Δεν μας δίνεται ότι οι παράγωγοι είναι ολοκληρώσιμες.
Βέβαια αυτά που έχεις γράψει ισχύουν παίρνοντας ολοκλήρωμα Lebesgue
η εφαρμόζοντας γενικευμένο μέσης τιμής.

Εκείνο που δεν βλέπω είναι από που προκύπτει το

$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)}=0,$

εκτός αν εννοείς μόνο για την περίπτωση που $b=-\infty$

Μάρκος Βασίλης · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 12:35 pm

Στην αρχή νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό.

Αντί

$a=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)}{g(x)},\ b=\lim\limits_{x\to0^+}g(x).$

νομίζω πως θέλει

$a=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)},\ b=\lim\limits_{x\to0^+}g(x).$

Στην ουσία .
Δεν μας δίνεται ότι οι παράγωγοι είναι ολοκληρώσιμες.
Βέβαια αυτά που έχεις γράψει ισχύουν παίρνοντας ολοκλήρωμα Lebesgue
η εφαρμόζοντας γενικευμένο μέσης τιμής.

Εκείνο που δεν βλέπω είναι από που προκύπτει το

$\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(\delta)-(a\pm\epsilon')g(\delta)}{g(t)}=0,$

εκτός αν εννοείς μόνο για την περίπτωση που $b=-\infty$

Πράγματι, στην αρχή έχω ξεχάσει του τόνους (ευχαριστώ για την επισήμανση!). Επίσης, έχετε δίκιο, έπρεπε να είχα επισημάνει ότι δε μιλάμε κατ' ανάγκη για Riemann ολοκλήρωμα. Τέλος, το τελευταίο μέρος αναφέρεται μόνον στην περίπτωση του $b=-\infty$ .

Πρακτικά, όταν $b=-\infty$ η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:41 pm

Πρακτικά, όταν $b=-\infty$ η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις.

Επειδή εγώ δεν γνωρίζω το λήμμα Stolz-Cesaro θα γράψω πώς προκύπτει η ανισότητα σου
όταν $b=-\infty$

Κάνω την δεξια .
Από γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής για $0<t<\delta$ είναι

$\frac{f(\delta )-f(t)}{g(\delta )-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}< a+\epsilon '$

με πράξεις και επειδή g(t)<0

προκύπτει ότι

$\frac{f(t)}{g(t)}< a+\epsilon '+\frac{f(\delta )-(a+\epsilon ')g(\delta )}{g(t)}$

που είναι το ίδιο με αυτό που εβγαλες χωρίς να ολοκληρώσουμε η να χρησιμοποιήσουμε

το άγνωστο σε εμένα Stolz-Cesaro.

Μάρκος Βασίλης · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 6:19 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:41 pm

Πρακτικά, όταν $b=-\infty$ η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις.
Επειδή εγώ δεν γνωρίζω το λήμμα Stolz-Cesaro θα γράψω πώς προκύπτει η ανισότητα σου
όταν $b=-\infty$

Κάνω την δεξια .
Από γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής για $0<t<\delta$ είναι

$\frac{f(\delta )-f(t)}{g(\delta )-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}< a+\epsilon '$

με πράξεις και επειδή προκύπτει ότι

$\frac{f(t)}{g(t)}< a+\epsilon '+\frac{f(\delta )-(a+\epsilon ')g(\delta )}{g(t)}$

που είναι το ίδιο με αυτό που εβγαλες χωρίς να ολοκληρώσουμε η να χρησιμοποιήσουμε

το άγνωστο σε εμένα Stolz-Cesaro.

Έξυπνο αυτό (άλλωστε, ο τίτλος παραπέμπει στον l' Hospital, του οποίου οι κανόνες αποδεικνύονται με το ΘΜΤ του Cauchy). Το λήμμα Stolz-Cesaro λέει το εξής:

Έστω (a_n)_n,(b_n)_n

ακολουθίες με την (b_n)_n

αποκλίνουσα και γνησίως μονότονη και έστω ότι το ακόλουθο όριο υπάρχει:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell.$

Τότε έχουμε ότι:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell.$

Πρακτικά, για $b=-\infty$ στην άσκησή μας έχουμε το Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, αν σκεφτούμε ότι η «παράγωγος» μιας ακολουθίας (a_n)_n

σε όρους ρυθμού μεταβολής θα μπορούσε να είναι:

$\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{n+1-n}=a_{n+1}-a_n.$

Σαν l'Hopital

Σαν l'Hopital

Re: Σαν l'Hopital

Re: Σαν l'Hopital

Re: Σαν l'Hopital

Re: Σαν l'Hopital

Re: Σαν l'Hopital

Re: Σαν l'Hopital

Μέλη σε σύνδεση