Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}$

Τόλη γεια χαρά!

Απάτη η άσκηση. Η ολοκληρωτέα είναι φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Πάμε να δούμε γιατί.

Θεωρώντας την $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\cos x}{\sin ^2x}=\dfrac{\sin ^2x-x^2 \cos x}{x^2\sin^2 x}.$

Παίρνοντας Taylor στο

έχουμε $\sin ^2x-x^2 \cos x=\dfrac{x^4}{6}+O(x^6)$ και $x^2\sin^2 x=x^4+O(x^6)$ .

Άρα $\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\dfrac{1}{6}.$ Η

λοιπόν είναι φραγμένη (λόγω συνέχειας) στο $(0,\frac{\pi}{2} ]$ .

Το ίδιο και η $\cos ax$ . Άρα το όριο είναι όντως

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 12:05 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 31, 2019 7:42 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{1}{a}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\cos ax\; \mathrm{d}x = 0}$
Τόλη γεια χαρά!

Απάτη η άσκηση. Η ολοκληρωτέα είναι φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο.

Πάμε να δούμε γιατί.

Θεωρώντας την $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\cos x}{\sin ^2x}=\dfrac{\sin ^2x-x^2 \cos x}{x^2\sin^2 x}.$

Παίρνοντας Taylor στο έχουμε $\sin ^2x-x^2 \cos x=\dfrac{x^4}{6}+O(x^6)$ και $x^2\sin^2 x=x^4+O(x^6)$ .

Άρα $\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\dfrac{1}{6}.$ Η λοιπόν είναι φραγμένη (λόγω συνέχειας) στο $(0,\frac{\pi}{2} ]$ .

Το ίδιο και η $\cos ax$ . Άρα το όριο είναι όντως

πολύ σωστά.Με πρόλαβες Λάμπρο.

Αλλά και το

να μην ήταν στον παρανομαστή πάλι

θα ηταν.

Riemann-Lebesgue.

Διπλή απάτη λοιπόν.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση