Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Και το β) είναι εύκολο.psaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Υπόδειξη: Μπορείς άραγε να βρεις με ; Αν στην θέση του είχες κάτι άλλο, θα μπορούσες;
psahno: Θα χαρούμε να δούμε την σκέψη σου εδώ.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Θα περιγράψω έναν διαφορετικό τρόπο εύρεσης το ΣΤ από αυτόν που περιγράφει ο κ.Λάμπρου παραπάνω.psaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Βασίζεται σε απλή παρατήρηση της συναρτησιακής. Ας συμβολίσουμε
(δεν είναι απαραίτητο, μόνο και μόνο για λόγους ευκολίας).
Έτσι η σχέση μας γίνεται (1) Αν φανταστείς την σαν αντιστοίχιση που την τροφοδοτείς με
και σου δίνει πίσω τότε όταν εξαντλήσεις όλα τα τα
θα πάρουν όλες τις τιμές στους πραγματικούς. Αυτό γιατί ισχύει η (1). Αυστηρά, το ΣΤ της είναι το
Βάζουμε μέσα στο παιχνίδι τώρα και το ΣΤ της . Όποιο και αν είναι αυτό σίγουρα θα είναι κάποιο
υποσύνολο των πραγματικών δηλαδή Όμως
και όπως έχουμε ήδη δείξει . Δεδομένου ότι το ΣΤ της (δηλαδή αυτό που ψάχνουμε) είναι
κάποιο υποσύνολο των πραγματικών, έχουμε τελικά ότι
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις άμεσες απαντήσεις. Για αυτό που λέτε εσείς κ. Λάμπρου, αν όπου =500 θα έχω , το οποίο δε με βοηθάει παρακάτω. Κάτι άλλο που σκέφτηκα ήταν το ούτως ώστε να έχω , που και πάλι δε με βοηθάει. Κι αν εξισώσω τα δύο παραπάνω, δηλαδή , λόγω του ότι η συνεπάγεται ότι 498=0, που δεν ισχύει. Βέβαια καταλήγω σε αυτό, επειδή αν ή , το χ θα παίρνει κάποιες τιμές, που μου είναι άγνωστες αφού δεν έχω τον τύπο της f για να το υπολογίσω. Με δοκιμές που έκανα βρήκα πως , κι έτσι , το οποίο ταιριάζει, γιατί αν βάλω στην όπου χ=χ-1 θα βγει χ-1+1=χ, δηλαδή το αποτέλεσμα της . Αυτό όμως δεν ξέρω πώς μπορώ να το αποδείξω, γιατί όπως είπα βρέθηκε με δοκιμές, αφού αν μπορούσα είναι προφανές πως το σύνολο τιμών θα βρεθεί από τον τύπο της αντίστροφης , το οποίο έχει πεδίο ορισμού όλο το , και άρα το σύνολο τιμών της είναι το .
Για τη δική σας λύση κ. Κατσάπα δεν έχω καταλάβει ακριβώς μετά τη σχέση (1) πώς καταλήγουμε στα υπόλοιπα συμπεράσματα που γράφετε, αλλά σκέφτηκα κάτι που νομίζω πως τελικά αποδεικνύει το ζητούμενο, κι ίσως να είναι το ίδιο με αυτό που λέτε εσείς. Θέτω και η εξίσωση γίνεται . Άρα το σύνολο τιμών της είναι το , όπως και το πεδίο ορισμού της. Από τον ορισμό της σύνθεσης συναρτήσεων ισχύει , άρα για να είναι αυτό ίσο με , θα είναι και . Οπότε αντίστοιχα και τα σύνολα τιμών αυτών των δύο θα είναι το . Ή μήπως αυτό παρ' όλα αυτά δεν αποδεικνύει κάτι για τα σύνολα τιμών;
Παρακαλώ πείτε μου πού κάνω το λάθος και καταλήγω σε αδιέξοδο.
Για τη δική σας λύση κ. Κατσάπα δεν έχω καταλάβει ακριβώς μετά τη σχέση (1) πώς καταλήγουμε στα υπόλοιπα συμπεράσματα που γράφετε, αλλά σκέφτηκα κάτι που νομίζω πως τελικά αποδεικνύει το ζητούμενο, κι ίσως να είναι το ίδιο με αυτό που λέτε εσείς. Θέτω και η εξίσωση γίνεται . Άρα το σύνολο τιμών της είναι το , όπως και το πεδίο ορισμού της. Από τον ορισμό της σύνθεσης συναρτήσεων ισχύει , άρα για να είναι αυτό ίσο με , θα είναι και . Οπότε αντίστοιχα και τα σύνολα τιμών αυτών των δύο θα είναι το . Ή μήπως αυτό παρ' όλα αυτά δεν αποδεικνύει κάτι για τα σύνολα τιμών;
Παρακαλώ πείτε μου πού κάνω το λάθος και καταλήγω σε αδιέξοδο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Καλύτερα να εργάζεσαι με αυτά που ισχύουν παρά να μπαίνεις σε έναν λαβύρινθο με αυτά
που δεν ισχύουν.
Θα δώσω μικρή υπόδειξη πάνω σε αυτά που έγραψα στην αρχική μου υπόδειξη.
Υπόδειξη: Τι τιμή παίρνει το αν θέσουμε ;
Μπορείς να γενικεύσεις;
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Αυτό γενικά δεν είναι σωστό. Πάρε π.χ. Το βέβαιο είναι ότι .
Στη δικιά μας άσκηση δεν βοηθάει όμως αφού θέλουμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το σύνολο τιμών της και όχι
για το ΠΟ της.Η ιδέα πίσω από την απόδειξη που σου έδωσα είναι η εξής: Αν η περιορισμένη σε ένα υποσύνολο
του ΠΟ έχει σύνολο τιμών το αναγκαστικά το σύνολο τιμών της ορισμένης στο
θα είναι το Νομίζω το παρακάτω σχήμα βοηθάει. Στο δικό μας παράδειγμα βάλε
Σημείωση: Η διαφορά με τη λύση που σου προτείνει ο κ.Λάμπρου είναι ότι εγώ για κάθε
δείχνω ότι υπάρχει ώστε ενώ ο κ. Λάμπρου το βρίσκει
κιόλας αυτό το .
- Συνημμένα
-
- New Picture ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ.JPG (41.06 KiB) Προβλήθηκε 4899 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 21
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 07, 2018 6:44 pm
- Τοποθεσία: Πέμπτη Διάσταση
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Αν και δεν είναι μαθηματικής φύσεως το θέμα μου νομίζω οτι ο χαιρετισμός είναι 'Χαίρετε' και όχι χαίρεται.
Γιατί όλοι οι μαθηματικοί είναι καινοτόμοι?
-Γιατί είναι ριζο-σπάστες
Εγώ
-Γιατί είναι ριζο-σπάστες
Εγώ
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Για το β).psaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Έστω τυχαίο . Θα δείξουμε ότι υπάρχει (ακριβώς ένα) ώστε .
Θέτοντας στην δοσμένη σχέση , παίρνουμε , άρα επιλέγουμε , και εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει η , άρα το σύνολο τιμών της είναι το .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Αν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλόpsaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με έχει λύση για κάθε
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Εχεις λάθος.Nikos002 έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 11:33 amΑν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλόpsaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με έχει λύση για κάθε
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το
Κοίταξε την τελευταία ισοδυναμία.
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Δεν μπορώ να το διακρίνω μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε ;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 11:40 amΕχεις λάθος.Nikos002 έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 11:33 amΑν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλόpsaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με έχει λύση για κάθε
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το
Κοίταξε την τελευταία ισοδυναμία.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Από τηνNikos002 έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 12:51 pmΔεν μπορώ να το διακρίνω μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε ;ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 11:40 amΕχεις λάθος.Nikos002 έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 11:33 amΑν και παλιό ποστ μου άρεσε η άσκηση και θέλω να δείξω μια λύση που μου ήρθε στο μυαλόpsaxno έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:57 amΧαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της είναι το . Συγκεκριμένα λέει:
Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει:
α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
Το α) εύκολα αποδεικνύεται. Το β) όμως πώς γίνεται; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Για να αποδείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το
Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση με έχει λύση για κάθε
Το οποιο μας δείχνει ότι για κάθε α υπάρχει λύση στην εξίσωση άρα και στην ισοδύναμη της την
Άρα η f έχει σύνολο τιμών το
Κοίταξε την τελευταία ισοδυναμία.
προκύπτει ότι ισοδύναμα λόγω του ότι
δηλαδή
Οπότε δεν έκανες τίποτα
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Θέλω να αποδείξω ότι η ως προς x εξίσωση έχει λύση για κάθε και πηγαίνω σε μια ισοδύναμη εξίσωση η οποία έχει λύση για κάθε
καθώς η ταυτοτικη έχει συνολικό τιμών το
καθώς η ταυτοτικη έχει συνολικό τιμών το
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Μάλλον δεν έχεις καταλάβει τι προσπαθεί να σου πει ο Σταύρος που επισημαίνει ότι η λύση σου είναι λάθος.
Έχω όμως και μία δεύτερη απορία: Αφού στο ποστ #8, αμέσως πριν από την "λύση" σου, ο Ορέστης έχει γράψει σωστή λύση στο ίδιο ύφος με την δική σου (αλλά χωρίς τα λάθη), ποιος ο λόγος να επανερχόμαστε;
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Ζητω συγνωμη , απλως δεν κοιταω τις λυσεις των υπολοιπων μου εκανε εντυπωση το ερωτημα και ειπα να το προσπαθησω και να παρουσιασω την προσπαθεια μου .Ωστοσο δεν μπορω να αντιληφθω το λαθος αν μπορειτε να με βοηθησετεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 4:43 pmΜάλλον δεν έχεις καταλάβει τι προσπαθεί να σου πει ο Σταύρος που επισημαίνει ότι η λύση σου είναι λάθος.
Έχω όμως και μία δεύτερη απορία: Αφού στο ποστ #8, αμέσως πριν από την "λύση" σου, ο Ορέστης έχει γράψει σωστή λύση στο ίδιο ύφος με την δική σου (αλλά χωρίς τα λάθη), ποιος ο λόγος να επανερχόμαστε;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Γράφε τουλάχιστον με σωστά Ελληνικά (τονισμό των λέξεων, στίξη και λοιπά). Στο έχουμε πει πολλές φορές αυτό, στο φόρουμ.
Θα σου είναι χρήσιμος οδηγός στην ζωή να γράφεις σωστά την γλώσσα.
Re: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης
Nikos002 έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 4:55 pmΖητώ συγνωμη , απλώς δεν κοιτάω τις λύσεις των υπόλοιπων. Μου έκανε εντύπωση το ερώτημα και είπα να το προσπαθήσω και να παρουσιάσω την προσπάθεια μου .Ωστόσο δεν μπορώ να αντιληφθώ το λάθος μου, αν μπορείτε να με βοηθήσετε.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 4:43 pmΜάλλον δεν έχεις καταλάβει τι προσπαθεί να σου πει ο Σταύρος που επισημαίνει ότι η λύση σου είναι λάθος.
Έχω όμως και μία δεύτερη απορία: Αφού στο ποστ #8, αμέσως πριν από την "λύση" σου, ο Ορέστης έχει γράψει σωστή λύση στο ίδιο ύφος με την δική σου (αλλά χωρίς τα λάθη), ποιος ο λόγος να επανερχόμαστε;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες