Ύπαρξη πίνακα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ένας $n \times n$ αντιστρέψιμος πραγματικός πίνακας. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός πίνακας

τέτοιος ώστε $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{B^k}{k!} = A}$ όπου $B^0 = \mathbb{I}_{n \times n}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 12:21 am
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential

Σταύρο, μάλλον εννοείς αυτό και τις εκεί παεαπομπές.

Ας προσθέσω ότι η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση πινάκων (ή γενικότερα, τελεστών σε χώρους Banach) είναι θέμα που το βρίσκει κανείς σε βιβλία Banach Algebras, στο κεφάλαιο Functional Calculus. Η θεωρία τους είναι κομψότατη. Δεν γνωρίζω στοιχειώδη μέθοδο. Ίδωμεν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 1:24 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 12:21 am
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
Σταύρο, μάλλον εννοείς αυτό και τις εκεί παεαπομπές.

Ας προσθέσω ότι η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση πινάκων (ή γενικότερα, τελεστών σε χώρους Banach) είναι θέμα που το βρίσκει κανείς σε βιβλία Banach Algebras, στο κεφάλαιο Functional Calculus. Η θεωρία τους είναι κομψότατη. Δεν γνωρίζω στοιχειώδη μέθοδο. Ίδωμεν.

Γεια Μιχάλη.
Διάβασε το παρακάτω

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 9:36 pm
Έστω ένας $n \times n$ αντιστρέψιμος πραγματικός πίνακας. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός πίνακας τέτοιος ώστε $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{B^k}{k!} = A}$ όπου $B^0 = \mathbb{I}_{n \times n}$ .

Το όριο αριστερά είναι ο πίνακας $e^{B}$

Ο πίνακας

δεν χρειάζεται να είναι πραγματικός.
Μπορεί να είναι μιγαδικός.
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
Αν πάμε στην παραπομπή στην General case στο Using the Jordan canonical form
τότε εκείνο που ουσιαστικά πρέπει να δείξουμε είναι το εξής:

Εστω $E=(a_{ij})$ πίνακας $(k+1)\times (k+1)$

όπου $a_{i,i+1}=1 for i=1,2,..k$

και τα άλλα στοιχεία του

.

Αν $\lambda \in \mathbb{C},\lambda \neq 0$

και $A=\lambda I+E$

τότε υπάρχει πίνακας μιγαδικός

ώστε $e^{B}=A$

Για την απόδειξη χρειαζόμαστε το εξής:

Εστω

ο πίνακας που ορίσαμε παραπάνω.

Αν $N=a_{1}E+a_{2}E^{2}+....+a_{k}E^{k}$
τότε
$e^{N}=I+a_{1}E+(a_{2}+f_{1}(a_{1}))E^{2}+......+(a_{k}+f_{k-1}(a_{1},a_{2},..a_{k-1}))E^{k}$

όπου τα f_i

είναι πολυώνυμα.

Με βάση το παραπάνω για $c\in \mathbb{C}$
μπορούμε να βρούμε πίνακα

ώστε
$e^{N}=I+cE$

Τώρα μπορούμε να ολοκληρώσουμε την απόδειξη

Εστω $B=\log \lambda I+N$ και $c= 1/\lambda$
(μιγαδικός λογάριθμος γενικά)
είναι

$e^{B}=e^{(\log \lambda) I}e^{N}=\lambda I(I+cE)=\lambda I+E=A$

Ύπαρξη πίνακα

Ύπαρξη πίνακα

Re: Ύπαρξη πίνακα

Re: Ύπαρξη πίνακα

Re: Ύπαρξη πίνακα

Re: Ύπαρξη πίνακα

Μέλη σε σύνδεση