Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

sot arm · #1

Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα

στο

να ισχύει:

$\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\varepsilon \lambda (I)}$

Να δειχθεί ότι η $f_{n}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην

σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, το ολοκλήρωμα είναι Lebesgue.

Σχόλιο: έχουμε δύο λύσεις για αυτό, τι ισχύει όμως για παραπάνω διαστάσεις, η μη φραγμένα διαστήματα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

sot arm έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 6:37 pm
Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα στο να ισχύει:

$\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\varepsilon \lambda (I)}$

Να δειχθεί ότι η $f_{n}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, το ολοκλήρωμα είναι Lebesgue.

Σχόλιο: έχουμε δύο λύσεις για αυτό, τι ισχύει όμως για παραπάνω διαστάσεις, η μη φραγμένα διαστήματα;

Θα γράψω μια απόδειξη η οποία είναι και για μη φραγμένα διαστήματα καθώς και
για τον $\mathbb{R}^{n}$
(το διάστημα είναι μπάλα η κύβος)

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι f=0

Χρειαζόμαστε τα εξής

1) $f_{n}\rightarrow 0 a.e\Leftrightarrow esssup|f_{n}|\rightarrow 0$

2)Αν έχουμε ένα σύνολο

θετικού μέτρου τότε υπάρχει

ώστε $|A\cap I|> c|I|$
όπου

σταθερά που εξαρτάται από την διάσταση.
(ισως και να μην εξαρτάται ,αλλά δεν είναι αυτό το θέμα μας)

Εστω ότι δεν έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση.

Θα υπάρχει b>0

και υπακολουθία που χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε όλη
την ακολουθία ώστε

$esssup|f_{n}|\geq b$ για όλα τα

Παίρνουμε

αρκετά μεγαλο και $\epsilon$
που θα το ορίσουμε αργότερα.

Επειδή $|\left \{ |f_{n}|>\frac{b}{2}| \right \} |> 0$

λόγω του 2) και συμβολίζοντας το παραπάνω σύνολο με

έχουμε

$c|I|\frac{b}{2}\leq \frac{b}{2}|A\cap I|\leq \int _{A\cap I}|f_{n}|\leq \int _{I}|f_{n}|\leq \epsilon |I|$

η τελευταία δείχνει ότι αν είχαμε πάρει $\epsilon =c\frac{b}{10}$

έχουμε ΑΤΟΠΟ.

Σωτήρη για τυχόν απορίες γράφεις.

mikemoke · #3

sot arm έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 6:37 pm
Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα στο να ισχύει:

$\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\varepsilon \lambda (I)}$

Να δειχθεί ότι η $f_{n}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, το ολοκλήρωμα είναι Lebesgue.

Σχόλιο: έχουμε δύο λύσεις για αυτό, τι ισχύει όμως για παραπάνω διαστάσεις, η μη φραγμένα διαστήματα;

Έστω $\epsilon >0$ τότε $\exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα

στο

να ισχύει:

$\displaystyle{\int_{I}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)<\frac{\epsilon}{2} \lambda (I)}$

Έστω $n \geq N$ τότε $A_n :=\{t \in [0,1] : |f_n(t)-f(t)| \geq \epsilon\}$ είναι μετρίσιμο. Υποθέτουμε προς άτοπο ότι $\lambda(A_n)>0$ .
Τότε υπάρχει ακολουθία ξένων ανά δύο , ανοιχτών διαστημάτων $(I_k)_{k \in \mathbb{N}}$ ώστε :
$A_n\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ και $\lambda(A_n)\leq \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k)<2\lambda(A_n)$

'Εστω $m \in \mathbb{N} :$

$\int _{\bigcup_{k=1}^{m}I_k}|f_n-f|=\sum_{k=1}^{m} \int _{I_k}|f_n-f|<\frac{\epsilon}{2}\sum_{k=1}^{m}l(I_k)$

$\int _{\bigcup_{k=1}^{m}I_k}|f_n-f| \geq \int _{(\bigcup_{k=1}^{m}I_k)\cap A_n}|f_n-f|\geq \epsilon \lambda((\bigcup_{k=1}^{m}I_k)\cap A_n)$

για $m \to \infty$ έχουμε ότι

$\int _{\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k}|f_n-f| \leq \frac{\epsilon}{2}\sum_{k=1}^{\infty}l(I_k)$

$\int _{\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k}|f_n-f| \geq \epsilon \lambda((\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k)\cap A_n)=\epsilon \lambda(A_n)>\frac{\epsilon}{2}\sum_{k=1}^{\infty}l(I_k) \geq \int _{\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k}|f_n-f|$ ΑΤΟΠΟ.

'Αρα $\forall n \geq N : \lambda(A_n)=0$
$\lambda(\cup_{n \geq N} A_n)\leq \sum_{n\geq N} \lambda(A_n) = 0$

Ορίζουμε $S_{\epsilon} = \cup_{n \geq N} A_n$ και έχουμε ότι $\lambda(S_{\epsilon})=0$
Τότε προκύπτει ότι $f_{n}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην

στο $A=[0,1]\setminus \bigcup_{i \in \mathbb{N}} S_{1/i}$ με $\lambda(A)=1$

sot arm · #4

Βάζω και την δικιά μου, επίσης λειτουργεί για μη φραγμένα διαστήματα και παραπάνω διαστάσεις, έστω $x_{0}$ κοινό σημείο Lebesgue όλων των $f_{n},f$ , το συμπλήρωμα αυτού του συνόλου έχει μέτρο 0 (γιατί;) έστω τώρα $B_{x_{0}}$ μπάλα στην οποία ανήκει το $x_{0}$ γράφουμε:

$\displaystyle{\lambda (B(x_{0}))|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|=\int_{B(x_{0})}|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|d\lambda (t)\leq }$

$\diplaystyle{ \int_{B(x_{0})}|f_{n}(t)-f_{n}(x_{0})|d\lambda (t)+\int_{B(x_{0})}|f(t)-f(x_{0})|d\lambda (t)+\int_{B(x_{0})}|f_{n}(t)-f(t)|d\lambda (t)}$

χρησιμοποιώντας τώρα την δοσμένη και διαιρώντας με το $\lambda (B(x_{0}))$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\frac{1}{ \lambda (B(x_{0}))}\int_{B(x_{0})}|f_{n}(t)-f_{n}(x_{0})|d\lambda (t)+\frac{1}{\lambda (B(x_{0}))}\int_{B(x_{0})}|f(t)-f(x_{0})|d\lambda (t)+\varepsilon}$

στέλνοντας το μέτρο της μπάλας να πάει στο 0, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\varepsilon$ για κάθε

μεγαλύτερο η ίσο του

. Αυτό είναι ακριβώς που θέλαμε.

Η λύση του Ιάσονα είναι παρόμοια με την λύση του κύριου Σταύρου, επίσης γεια σου Μιχάλη!

Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση