Εύρεση σημείου σε κύκλο

[Doloros]

Εύρεση σημείου σε κύκλο.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές

Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή και σταθερό σημείο του μικρού .

Να βρεθεί σημείο του μεγάλου που για το μέσο, , της χορδής η να διχοτομεί τη γωνία ,

δεκτές όλες οι λύσεις .

[JimNt.]

Ας είναι το σημείο τομης των εφαπτομένων στα και . Τότε αν η επανατεμνει τον κύκλο στο αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω το μέσο της και το σημείο τομής της εκ του περικέντρου , με την τότε αφού αρμονικό το είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα , άρα, η δέσμη είναι αρμονική . Όμως άρα η ζητούμενη διχοτόμηση είναι άμεση από ένα λήμμα για αρμονικά (?).

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Εδώ ήταν αυτό που ο JimNt έχει σε απόκρυψη

Είναι γραμμένο το

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.

Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.

[angvl]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dixotomos.png (241.61 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

Καλησπέρα! Μια απόπειρα με ευκλείδεια που γνωρίζω ότι είναι απο τα πιο αδύνατα σημεία μου!

'Εστω ο φορέας του . Από το φέρνω ευθεία και έστω .Από το φέρνω ευθεία και έστω .Από το φέρνω ευθεία που τέμνει τον κύκλο σ' ένα σημείο έστω .
Φέρνω και την .Mε δεδομένο ότι άρα ,θα δείξω ότι η είναι η διχοτόμος της γωνίας .

Φέρνω .Στο τρίγωνο το μέσο του και άρα μέσο .Στο τρίγωνο το ενώνει τα μέσα δύο πλεύρων του άρα . Συνεπώς το τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλεύρες του παράλληλες άρα είναι παρ/μο. Αλλά οπότε το παρ/μο είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιες του τέμνονται κάθετα.Συνεπώς ως(εντός εκτός και επί τα αυτά), γωνία ως εντός εναλλάξ και ως πλευρές ρόμβου άρα .

.Λάθος λύση!Γι αυτο την έβαλα σε hide.

[Al.Koutsouridis]

Εύρεση σημείου σε κύκλο.png

Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή και σταθερό σημείο του μικρού .

Να βρεθεί σημείο του μεγάλου που για το μέσο, , της χορδής η να διχοτομεί τη γωνία ,

δεκτές όλες οι λύσεις .

euresh_shmeio_se_kuklo.png (24.06 KiB) Προβλήθηκε 1230 φορές

Για τυχαία χορδή ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της , είναι κύκλος με διάμετρο , όπου το κέντρο του δοσμένου κύκλου. Πράγματι, έχουμε ( απόστημα της χορδής ) και τα σημεία είναι σταθερά.

Φέρουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και έστω ότι τέμνει τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο στο σημείο . Έστω το αντιδιαμετρικό σημείο του αυτού του κύκλου, άρα και το μέσο του τόξου αυτού. Οπότε . Επίσης ισχύει . Επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά.

Άρα το σημείο με την παραπάνω κατασκευή μας δίνει την ζητούμενη ευθεία , που ορίζει το σημείο .

[Doloros]

Εύρεση σημείου σε κύκλο.png

Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή και σταθερό σημείο του μικρού .

Να βρεθεί σημείο του μεγάλου που για το μέσο, , της χορδής η να διχοτομεί τη γωνία ,

δεκτές όλες οι λύσεις .

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την πολύ ωραία του λύση . Σχεδόν παρόμοια η δική μου.

Κατασκευή:

Εύρεση σημείου σε κύκλο _πρώτη λύση.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 1191 φορές

Γράφω το κύκλο κι έστω ο νότιος πόλος του ενώ προφανώς το είναι ο Βόρειος πόλος. Η ευθεία τέμνει ακόμα το αρχικό κύκλο στο .

Απόδειξη:

Επειδή . Επειδή ( βαίνει σε ημικύκλιο) το είναι μέσο της χορδής του κύκλου .

Διερεύνηση :
Προφανώς πάντα έχουμε μια και μοναδική λύση.

[Doloros]

Ας δούμε και μια τεκμηρίωση της σωστής άποψης του


Κατασκευή.

Έστω το κέντρο του κύκλου . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα έστω ότι τέμνονται στο . Η τέμνει ακόμα το κύκλο στο , σημείο που ζητάμε .

Απόδειξη:

Εύρεση σημείου σε κύκλο _δεύτερη λύση.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 1176 φορές

Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο που τέμνει την ευθεία στο .

Η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η που διέρχεται από το και άρα ( ) η πολική του θα διέρχεται από το .

Όμως αφού το είναι εφαπτόμενο τμήμα η πολική του θα διέρχεται κι από το , δηλαδή είναι η .

Άμεσες συνέπειες :

1. , έστω δε το κοινό τους σημείο που προφανώς θα είναι το μέσο της χορδής .

2. Αν οι τέμνονται στο τότε η δέσμη, είναι αρμονική κι αφού , η είναι διχοτόμος του .

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ας είναι το σημείο τομης των εφαπτομένων στα και . Τότε αν η επανατεμνει τον κύκλο στο αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω το μέσο της και το σημείο τομής της εκ του περικέντρου , με την τότε αφού αρμονικό το είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα , άρα, η δέσμη είναι αρμονική . Όμως άρα η ζητούμενη διχοτόμηση είναι άμεση από ένα λήμμα για αρμονικά (?).

Εδώ ήταν αυτό που ο JimNt έχει σε απόκρυψη

Είναι γραμμένο το

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Θα μπορούσες τουλάχιστον να το βάλεις σε απόκρυψη.

Σημείωση 14/5.
Διόρθωσα την ανάρτηση ώστε να είναι συμβατή με τις πιο πάνω μιας και η προηγούμενη άλλαξε.

7. Διαγραφή μηνύματος που έχει απαντηθεί και αφήνει μετέωρες τις άλλες απαντήσεις είναι ανεπίτρεπτη. Το ίδιο ασφαλώς ισχύει και για αλλοίωση μηνύματος σε τέτοιο βαθμό ώστε να μην βγάζουν νόημα οι επόμενες αναρτήσεις. Το δεοντολογικά ορθό σε περίπτωση λάθους σε μήνυμά μας είναι η επεξεργασία του με τέτοιο τρόπο ώστε από την μία να προειδοποιεί τα μέλη μας για την ύπαρξη του λάθους, και από την άλλη να μην χαλάει τον ειρμό των επόμενων μηνυμάτων.


Και κάτι επι της ουσίας.
Το σημείο του Αλέξαντρου καθώς και το του Νίκου είναι
η τομή των εφαπτομένων του αρχικού κύκλου στα

[S.E.Louridas]

Εύρεση σημείου σε κύκλο.png
Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή και σταθερό σημείο του μικρού .
Να βρεθεί σημείο του μεγάλου που για το μέσο, , της χορδής η να διχοτομεί τη γωνία ,
δεκτές όλες οι λύσεις .

Για λόγους και μόνο πλουραλισμού.
Από το θεώρημα της πεταλουδίτσας παίρνουμε και επειδή πρόκειται για τις διχοτόμους των όμοιων τριγώνων αυτά θα είναι ίσα. Τελικά το εγγεγραμμένο τραπέζιο θα είναι ισοσκελές. Επομένως Άρα το προσδιορίζεται ως τομή των κύκλων

ΠΕΤ.png (33.9 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές