Προφανής παραλληλία

#1

: Προφανής παραλληλία.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου

. Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

.

Από το

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

στο ημικύκλιο.

Αν

το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο

.

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το

β) Αν η χορδή

προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο

και

το σημείο τομής των $CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ δείξετε ότι , OS//AT

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am
Προφανής παραλληλία.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου . Έστω το συμμετρικό του ως προς .

Από το φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο.

Αν το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο .

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το

β) Αν η χορδή προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο και το σημείο τομής των $CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ δείξετε ότι ,

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.

α) $\angle OPC=90^{\circ}$ άρα το

ανήκει στο ημικύκλιο.

β)Από το εγγεγραμμένο OPTC

είναι $\angle TCO=\angle APO=\angle OAP$ άρα ATC

ισοσκελές και αφού

μέσο του

είναι $TS\perp AC$

$\angle BPS=90-\angle OPB=90-\angle PBO=\angle PBS\Leftrightarrow PS=PB=ST$ και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.

: Capture.PNG (33.1 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

#3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 7:26 pm

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 14, 2019 11:07 am
Προφανής παραλληλία.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου . Έστω το συμμετρικό του ως προς .

Από το φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο.

Αν το κέντρο του ημικυκλίου , γράφω, προς το αυτό μέρος νέο ημικύκλιο με διάμετρο .

α) Δείξετε ότι το νέο ημικύκλιο διέρχεται από το

β) Αν η χορδή προεκταθεί και κόψει το νέο ημικύκλιο στο και το σημείο τομής των $CP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ δείξετε ότι ,

Όλες οι λύσεις δεκτές αρκεί να έχουν τεκμηριωθεί επαρκώς.
α) $\angle OPC=90^{\circ}$ άρα το ανήκει στο ημικύκλιο.

β)Από το εγγεγραμμένο είναι $\angle TCO=\angle APO=\angle OAP$ άρα ισοσκελές και αφού μέσο του είναι $TS\perp AC$

$\angle BPS=90-\angle OPB=90-\angle PBO=\angle PBS\Leftrightarrow PS=PB=ST$ και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.

Προφανής παραλληλία.PNG

angvl · #4

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλη την ομάδα!! Μία εκτός φακέλου με αναλυτική! (Exω βάλει τον Οχ προς τα αριστερά).

Στο σχήμα του κ.Νίκου. 'Εστω $\displaystyle B(0,0), BA=Bx,BT=By$ . 'Εστω $\displaystyle O(m,0),m>0,A(2m,0),C(-2m,0)$ .Ο ''μικρός" κύκλος έχει εξίσωση $\displaystyle \boxed{ C_{1}:(x-m)^2+y^2=m^2}\Rightarrow x^2+y^2 = 2mx$ .

Εστω $\displaystyle P(x,y)$ , τότε ισχύει

$\displaystyle \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{PC}=0 \Rightarrow ... x =\frac{2m}{3}$ και επειδή $\displaystyle P \in C_{1}$ βρίσκουμε $\displaystyle y = \frac{2\sqrt{2}m}{3}$ . Αρα $\displaystyle P(\frac{2m}{3}, \frac{2\sqrt{2}m}{3})$ . H ακτίνα του "μεγάλου" κύκλου είναι ίση με $\displaystyle \frac{|{OC}|}{2}=\frac{3m}{2}}$ . Tο κέντρο του έχει συν/νες $\displaystyle (-\frac{m}{2},0)$ . Συνεπώς θα έχει εξίσωση $\displaystyle \boxed{C_{2}:(x+\frac{m}{2})^2+y^2 = \frac{9m^2}{4}}$ .Αρα για το πρώτο ερώτημα πρέπει να δείξουμε ότι οι συν/νες του $\displaystyle P$ επαληθεύουν τον κύκλο $\displaystyle C_{2}$ .Αρα

α) $\displaystyle (\frac{2m}{3}+\frac{m}{2})^2 + \frac{8m^2}{9} = \frac{49m^2}{36}+ \frac{8m^2}{9} =..= \frac{9m^2}{4}$ Για το δεύτερο ερώτημα.

β) Εστω $\displaystyle PN \perp AC \Rightarrow N(\frac{2m}{3},0)$ . Tα τρίγωνα $\displaystyle \triangle PNC , \triangle SBC$ είναι όμοια άρα $\displaystyle |SB| =| PN|\frac{|BC|}{|CN|} \Rightarrow... |SB| = \frac{m\sqrt{2}}{2}$ οπότε $\displaystyle \tan \angle SOB = \frac{|BS|}{|OB|} = ...=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \tan \angle PAN = \frac{|PN|}{|AN|}=...=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ συνεπώς $\displaystyle AT//OS$

Προφανής παραλληλία

Προφανής παραλληλία

Re: Προφανής παραλληλία

Re: Προφανής παραλληλία

Re: Προφανής παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση