Ανισότητα ομάδων
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα ομάδων
Έστω πεπερασμένη ομάδα και έστω , δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε και . Δείξατε ότι:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα ομάδων
Γνωρίζουμε ότι τα και είναι ακέραιοι. (Θεώρημα Lagrange.) Έστω και . Γνωρίζουμε επίσης ότι . (Ισοδύναμο του που είναι απλό.) Τότε:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα ομάδων
Θα αλλάξω τους καλλιτεχνικούς συμβολισμούς του Τόλη.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 amΈστω πεπερασμένη ομάδα και έστω , δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε και . Δείξατε ότι:
Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι το Θεώρημα Lagrange που λέει
Η τάξη (πλήθος στοιχείων) μιας υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Εστω ότι
θα είναι
και
Διακρίνουμε περιπτώσεις.
i)
τότε
οπότε
ii)
Εχουμε ότι
Είναι
(1)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Υπάρχουν δύο υποπεριπτώσεις.
1)
λόγω της (1) είναι
2)
Θεωρούμε ένα
σταθερό.
Για τα στοιχεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους και
δεν ανήκουν στο
Αρα
Aπο την τελευταία προκύπτει ότι
Να σημειώσω ότι μπορούμε να βρούμε παράδειγμα στο οποίο ισχύει ισότητα.
Αρκεί να πάρουμε την quaternion group με 8 στοιχεία.
Από ότι βλέπω με πρόλαβε ο Δημήτρης με διαφορετική απόδειξη.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα ομάδων
Ήταν το επόμενο ερώτημα που θα έθετα να βρεθεί παράδειγμα ώστε να ισχύει η ισότητα. Και η ομάδα Klein με υποομάδες και Τότε καιΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Αύγ 12, 2019 12:02 pmΝα σημειώσω ότι μπορούμε να βρούμε παράδειγμα στο οποίο ισχύει ισότητα.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 amΈστω πεπερασμένη ομάδα και έστω , δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε και . Δείξατε ότι:
Αρκεί να πάρουμε την quaternion group με 8 στοιχεία.
Αυτό βέβαια δείχνει ότι η σταθερά δε μπορεί να βελτιωθεί.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες