Ανισότητα υπό συνθήκη
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα υπό συνθήκη
Προέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος:
Αν , μη αρνητικοί, τότε .
Αν , μη αρνητικοί, τότε .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Από Cauchy Schwarz, , οπότε . Οπότε, αρκεί να δείξω ότι ή αλλιώς .gbaloglou έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 10, 2019 9:39 amΠροέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος:
Αν , μη αρνητικοί, τότε .
Έστω, και αρκεί .
Όμως, από την γνωστή , οπότε αρκεί , που είναι προφανής.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Εναλλακτικά, η παράγωγος της στο είναι η (ετερόσημη του ), από όπου συνάγεται εύκολα ότι η παράσταση μεγιστοποιείται για .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Ορέστη αποδεικνύεις παραπάνω μία κάπως δυσκολότερη ανισότητα από αυτήν που πρότεινα, και που νόμιζα μάλιστα ότι δεν ίσχυε! Δεν χρειάζεται βέβαια Cauchy-Schwartz, αρκεί η ΑΜ-ΓΜ για την , οπότε . (Ο δικός μου τρόπος απόδειξης κοντά στον δικό σου, αλλά περιπετειώδης, καθώς καταλήγει στην , όπου .)Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 10, 2019 10:01 amΑπό Cauchy Schwarz, , οπότε . Οπότε, αρκεί να δείξω ότι ή αλλιώς .gbaloglou έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 10, 2019 9:39 amΠροέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος:
Αν , μη αρνητικοί, τότε .
Έστω, και αρκεί .
Όμως, από την γνωστή , οπότε αρκεί , που είναι προφανής.
Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά (εδώ) στην εξής συμμετρική ανισότητα:
Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον αποδεκτό τρόπο απόδειξης. Όποιος δει κάτι ας μας διαφωτίσει, είτε εδώ είτε εκεί!
ΔΕΝ ισχύει τελικά η ανισότητα, δείτε την δημοσίευση του ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ παρακάτω!
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τετ Αύγ 14, 2019 10:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Μία πρώτη προσπάθεια: η οδηγεί σε ισότητες όπως οιgbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 10:56 amΟρέστη αποδεικνύεις παραπάνω μία κάπως δυσκολότερη ανισότητα από αυτήν που πρότεινα, και που νόμιζα μάλιστα ότι δεν ίσχυε! Δεν χρειάζεται βέβαια Cauchy-Schwartz, αρκεί η ΑΜ-ΓΜ για την , οπότε . (Ο δικός μου τρόπος απόδειξης κοντά στον δικό σου, αλλά περιπετειώδης, καθώς καταλήγει στην , όπου .)Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 10, 2019 10:01 amΑπό Cauchy Schwarz, , οπότε . Οπότε, αρκεί να δείξω ότι ή αλλιώς .gbaloglou έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 10, 2019 9:39 amΠροέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος:
Αν , μη αρνητικοί, τότε .
Έστω, και αρκεί .
Όμως, από την γνωστή , οπότε αρκεί , που είναι προφανής.
Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά (εδώ) στην εξής συμμετρική ανισότητα:
Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον αποδεκτό τρόπο απόδειξης. Όποιος δει κάτι ας μας διαφωτίσει, είτε εδώ είτε εκεί!
οπότε η ζητούμενη ανισότητα ανάγεται, με , πάντοτε, στην
Εδώ ... ή μου διαφεύγει κάτι εύκολο (που ίσως δει κάποιος άλλος) ή έχουμε μια κάποια μαρτυρία για την δυσκολία της ανισότητας του Ορέστη
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Αρχικά έστω κλπ.gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 10:56 amΑλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά (εδώ) στην εξής συμμετρική ανισότητα:
Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον αποδεκτό τρόπο απόδειξης. Όποιος δει κάτι ας μας διαφωτίσει, είτε εδώ είτε εκεί!
Αν χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση
(δηλ. ) η δοσμένη γράφεται:
Όμως η μέγιστη τιμή της είναι φανερό ότι επιτυγχάνεται όταν δύο μεταβλητές (εκ των ) είναι ίσες, αφού είναι δευτεροβάθμια.
Συνεπώς υποθέτουμε . Αλλάζουμε ξανά τις μεταβλητές και καταλήγουμε ότι πρέπει να ισχύει:
αν που όμως δεν ισχύει πχ. για .
Ως εκ τούτου προκύπτει το αντιπαράδειγμα στην αρχική ανισότητα
ΥΓ. Να επαναφέρω ακόμα μια φορά την: https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 80&t=64959
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη
Χάρη σ' ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση: πράγματι η ανισότητα που πρότεινα δεν ισχύει, έστω και οριακά -- τόσο οριακά (μέγιστη τιμή αριστερού σκέλους μικρότερη του ) ... που οδήγησε σε λάθος και το ίδιο το WolframAlpha (βλέπε συνημμένο)!ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Τρί Αύγ 13, 2019 9:45 pmΑρχικά έστω κλπ.gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 10:56 amΑλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά (εδώ) στην εξής συμμετρική ανισότητα:
Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον αποδεκτό τρόπο απόδειξης. Όποιος δει κάτι ας μας διαφωτίσει, είτε εδώ είτε εκεί!
Αν χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση
(δηλ. ) η δοσμένη γράφεται:
Όμως η μέγιστη τιμή της είναι φανερό ότι επιτυγχάνεται όταν δύο μεταβλητές (εκ των ) είναι ίσες, αφού είναι δευτεροβάθμια.
Συνεπώς υποθέτουμε . Αλλάζουμε ξανά τις μεταβλητές και καταλήγουμε ότι πρέπει να ισχύει:
αν που όμως δεν ισχύει πχ. για .
Ως εκ τούτου προκύπτει το αντιπαράδειγμα στην αρχική ανισότητα
ΥΓ. Να επαναφέρω ακόμα μια φορά την: https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 80&t=64959
[Ελέγχομαι κάπως που βασίστηκα στο WolframAlpha για να ισχυριστώ ότι η ανισότητα ισχύει ... αλλά είχα εξ αρχής δηλώσει ότι δεν έχω απόδειξη!]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες