Η "κακιά" γωνία

#1

: Εύκολη γωνία.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Στο σχήμα η

είναι διάμεσος του τριγώνου ABC.

Υπολογίστε με όποιο τρόπο θέλετε την "κακιά" γωνία $B\widehat AD=\theta.$

ΥΓ Την έβαλα σε αυτό το φάκελο για να καλύπτει μεγαλύτερο αριθμό λύσεων.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 4:33 pm
Εύκολη γωνία.png
Στο σχήμα η είναι διάμεσος του τριγώνου Υπολογίστε με όποιο τρόπο θέλετε την "κακιά" γωνία $B\widehat AD=\theta.$

ΥΓ Την έβαλα σε αυτό το φάκελο για να καλύπτει μεγαλύτερο αριθμό λύσεων.

: Η κακιά γωνία.png (26.35 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου

με την

.

Προφανώς :

1. Το $\vartriangle DEB$ είναι ισόπλευρο

2. Το $\vartriangle EAD \to (150^\circ ,15^\circ ,15^\circ )$

3. Το $\vartriangle EAB \to (90^\circ ,45^\circ ,45^\circ )$

Άρα $\boxed{\widehat \theta = 30^\circ }$ .

#3

: Η κακιά γωνία_1.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

κι έστω

το κέντρο του .

Επειδή το τρίγωνο KAB

είναι ισόπλευρο και

( ως απόστημα) κάθετη στη

το τετράπλευρο ABDK

είναι χαρταετός , οπότε $\widehat \theta = 30^\circ$ .

Παρατήρηση : έλαβα υπ όψη και το έμμεσο κριτήριο ισότητας για τα τρίγωνα,

#4

: Η κακιά γωνία_2.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

και

το μέσο του

.

Επειδή $MD//AB \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = \widehat \omega }\,\,(1)$ . Θέτω $KD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KM = y$ .

Επειδή στο $\vartriangle DBC$ η γωνία στο

είναι διπλάσια της γωνίας στο

θα έχω:

$D{A^2} - D{C^2} = AC \cdot DC\,\,(2)$ ενώ από το δεύτερο θ. διαμέσων στο ίδιο τρίγωνο :

$D{A^2} - D{C^2} = 2AC \cdot KM\,\,\,(3)$ . Λόγω της (2)

η

δίδει :

.

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο KDC

και αφού $\widehat C = 30^\circ$ θα είναι 2x = DC

.

Έτσι θα έχω ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} 2x = DC \hfill \\ 2y = DC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = y \Rightarrow \,\,\vartriangle KMD \to (90^\circ ,45^\circ ,45^\circ )$ , άρα $\boxed{\widehat \theta = 30^\circ }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Γεια σου Νίκο.
Στην πρώτη ανάρτηση στο 2 έχεις τυπογραφικό.

Για να δούμε μια λύση με Β Λυκείου.
Στο σχήμα του Γιώργου.
Με τριγωνομετρία βρίσκουμε την γωνία.
Πάμε αντίστροφα.
Παίρνουμε το

ώστε να είναι $\angle BAD=30$
Θα δείξουμε ότι $BD=\frac{1}{2}BC$
Αν

είναι το ύψος τότε $AB=\sqrt{2}BK=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$ (1)
Αλλά λόγω των γωνιών η

εφάπτεται του κύκλου που περνάει από τα A,D,C

Από δύναμη σημείου έχουμε ότι
$AB^{2}=BD.BC$
Η τελευταία μαζί με την (1) δίνουν
$BD=\frac{1}{2}BC$
ετσι το

είναι μέσο του

#6

: Η κακιά γωνία_3.png (30.61 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την

.

Θα είναι έτσι το τρίγωνο HDC

ισόπλευρο και άρα , $HD = DB = DC \Rightarrow \widehat {BHC} = 90^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AHB} = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$ .

Δηλαδή το τετράπλευρο ABDH

είναι εγγράψιμο , οπότε $\widehat \theta = \widehat \omega = 30^\circ$

#7

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 5:08 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 02, 2019 4:33 pm
Εύκολη γωνία.png
Στο σχήμα η είναι διάμεσος του τριγώνου Υπολογίστε με όποιο τρόπο θέλετε την "κακιά" γωνία $B\widehat AD=\theta.$

ΥΓ Την έβαλα σε αυτό το φάκελο για να καλύπτει μεγαλύτερο αριθμό λύσεων.
Η κακιά γωνία.png

Ας είναι το σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου με την .

Προφανώς :

1. Το $\vartriangle DEB$ είναι ισόπλευρο

2. Το $\vartriangle EAD \to (150^\circ ,15^\circ ,15^\circ )$

3. Το $\vartriangle EAB \to (90^\circ ,45^\circ ,45^\circ )$

Άρα $\boxed{\widehat \theta = 30^\circ }$ .

Αν ήταν να βραβεύσω μία λύση του σαρωτικού Νίκου, θα διάλεγα αυτήν

Δύο λύσεις με ύλη Β Λυκείου έχω αναρτήσει εδώ(george_54) εκ των οποίων η μία μοιάζει με του Σταύρου.

Φανης Θεοφανιδης · #8

: 1.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Με πλευρά την

κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο APD

και φέρνω το τμήμα

.

Προφανώς $\angle DAC=15^{0}\Rightarrow \angle CAP=45^{0}$ .

Επειδή $\angle ACD=30^{0}$ , έπεται ότι το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ACD

.

Οπότε PA=PC

.

Ονομάζω τη

τη προβολή του

στην

.

Το

είναι μέσο της

.

Άρα $KD\parallel AB$ .

Όμως η

είναι μεσοκάθετος του

(αφού

).

Επομένως $\angle KDA=30^{0}$ .

Συνεπώς $\theta =30^{0}$ .

Η "κακιά" γωνία

Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Re: Η "κακιά" γωνία

Μέλη σε σύνδεση