Τετράγωνο-44.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD

είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου AZB

(

συνευθειακά).

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ( συνευθειακά).

Καλησπέρα!

Από πυθαγόρειο στο DCE

είναι $DC=\sqrt{89}$ .Έστω $L\equiv BC\cap DZ$
Είναι $\dfrac{CE}{DE}=\dfrac{CL}{DC}\Leftrightarrow CL=\dfrac{5}{8}\sqrt{89}$
Έχουμε $\bigtriangleup CEL\sim \bigtriangleup BZL\Leftrightarrow \dfrac{5}{BZ}=\dfrac{CL}{LB}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow BZ=3$

Το ABZD

είναι εγγράψιμο άρα $\left ( ABZ \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{89}\cdot 3\cdot \sin\angle ABZ=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{89}\cdot 3\cdot\dfrac{8}{\sqrt{89}}=12$

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ( συνευθειακά).

Φέρνω

οπότε τα

είναι παραλληλόγραμμα και AH=8, BH=5.

: Τετράγωνο-44.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Αλλά το

είναι εγγράψιμο άρα, $B\widehat ZA=A\widehat DB=45^\circ,$ οπότε το HAZ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και BZ=3.

$\boxed{(ABZ)=\dfrac{BZ\cdot AH}{2}=12}$ (Τα Z, B, H

εύκολα βγαίνουν συνευθειακά).

#4

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των $DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ /

Επειδή οι $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ έχουν ίσες προβολές στην

θα είναι :

$DK = 5\,\,,\,\,KE = 3\,\,,\,\,EZ = 5$ / Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο EDC

έχω $D{C^2} = 89$ και από το ορθογώνιο τρίγωνο CDT

έχω :

: Τετράγωνο 44.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

$D{C^2} = DE \cdot DT \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ET = \frac{{25}}{8} \hfill \\ TZ = \frac{{15}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{ET}}{{TZ}} = \frac{5}{3} \hfill \\ \frac{{ET}}{{TZ}} = \frac{{CE}}{{BZ}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{BZ = x = 3}$

Το εμβαδόν που ζητάμε προκύπτει από το εμβαδόν του τραπεζίου AKZB

μετά την αφαίρεση του εμβαδού του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου AKZ

/

Δηλαδή : $\boxed{(ABZ) = \frac{{3 + 8}}{2} \cdot 8 - \frac{{8 \cdot 8}}{2} = \frac{{8(11 - 8)}}{2} = 12}$

STOPJOHN · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ( συνευθειακά).

$(ABZ)=\dfrac{1}{2}.AB.\upsilon ,\upsilon =ZL, (1),$

Απο το Π.Θ η πλευρά του τετραγώνου είναι $\sqrt{89}$

Aπό μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο $DCN,EN=\dfrac{25}{8},CN=\dfrac{5\sqrt{89}}{8},$

Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$ZLT,ECN,LT=\dfrac{8\upsilon }{5},ZT=\dfrac{\sqrt{89}\upsilon }{5}, ZT^{2}=LT.BT\Rightarrow BT=\dfrac{89\upsilon }{40},\dfrac{\upsilon }{NB}=\dfrac{LT}{TB}\Rightarrow u=\dfrac{24}{\sqrt{89}},(ABZ)=\dfrac{1}{2}\sqrt{89}.\dfrac{24}{\sqrt{89}}=12,$

Γιάννης

angvl · #6

STOPJOHN έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 4:14 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ( συνευθειακά).

$(ABZ)=\dfrac{1}{2}.AB.\upsilon ,\upsilon =ZL, (1),$

Απο το Π.Θ η πλευρά του τετραγώνου είναι $\sqrt{89}$

Aπό μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο $DCN,EN=\dfrac{25}{8},CN=\dfrac{5\sqrt{89}}{8},$

Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$ZLT,ECN,LT=\dfrac{8\upsilon }{5},ZT=\dfrac{\sqrt{89}\upsilon }{5}, ZT^{2}=LT.BT\Rightarrow BT=\dfrac{89\upsilon }{40},\dfrac{\upsilon }{NB}=\dfrac{LT}{TB}\Rightarrow u=\dfrac{24}{\sqrt{89}},(ABZ)=\dfrac{1}{2}\sqrt{89}.\dfrac{24}{\sqrt{89}}=12,$

Γιάννης

Καλησπέρα! Και εγώ κάπως έτσι το είχα σκεφτεί .

Λίγο πιο πάνω ο Πρόδρομος βρήκε ότι

$\displaystyle BZ = 3 ,CN=\frac{5\sqrt{89}}{8}$ και $BC = \sqrt{89}$ ,

οπότε θα θεωρήσω ότι αυτά είναι γνώστά. Είναι απ το σχήμα του STOPJOHN

$\displaystyle BN = BC-CN =\frac{3\sqrt{89}}{8}$

Τα τρίγωνα BLZ

και

είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια και $\displaystyle\angle HBZ=\angle BZL$ ως εντός εναλλάξ.

Αρα

$\displaystyle \frac{NB}{BZ}=\frac{BZ}{ZL}\Rightarrow ZL=\frac{24}{\sqrt{89}}$

Οπότε

$\displaystyle (ABZ) = \frac{1}{2}ABZL=\frac{1}{2}\sqrt{89}\frac{24}{\sqrt{89}}=12$

Altrian · #7

εγγράψιμο $\Rightarrow \angle CZD=45\Rightarrow EZ=5\Rightarrow DZ=13$

$(ABZ)+(DCZ)=(ABCD)/2\Rightarrow (ABZ)=\dfrac{89}{2}-\dfrac{5*13}{2}=12$

#8

Καλησπέρα σε όλους. Μια λύση με σύστημα συντεταγμένων, όπου έκανα αντιστροφή στο σχήμα για να είναι πιο "βολικές" οι εξισώσεις.

: 28-07-2019 Γεωμετρία.png (34.62 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο DEC

είναι $\displaystyle DC = a = \sqrt {89}$ .

Έστω $\displaystyle D\left( {0,0} \right),\;C\left( {a,0} \right),\;B\left( {a,\;a} \right),\;A\left( {0,\;a} \right)$ .

$\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {CDE} \right) = \frac{5}{8} \Rightarrow \;\;DE:\;\;y = \frac{5}{8}x$ .

Είναι $\displaystyle BZ \bot DE$ οπότε $\displaystyle BZ:\;y - a = - \frac{8}{5}\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow y = - \frac{8}{5}x + \frac{{13}}{5}a$

Θέτω $\displaystyle a = \sqrt {89}$ και βρίσκω ότι τέμνονται στο $\displaystyle Z\left( {\frac{{104}}{{\sqrt {89} }},\;\frac{{65}}{{\sqrt {89} }}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \left( {ABZ} \right) = \frac{{AB \cdot d\left( {Z,\;AB} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {89} \cdot \left( {\sqrt {89} - \frac{{65}}{{\sqrt {89} }}} \right)}}{2} = \frac{{89 - 65}}{2} = 12$ .

Φανης Θεοφανιδης · #9

: 1.png (21.65 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

Προφανώς το

ανήκει στο περίκυκλο του τετραγώνου.

Οπότε $\angle CZD=\angle DZA=\angle AZB=45^{0}$ .

Εύκολα βρίσκω ότι $AC=BD=\sqrt{178}$ και $CZ=5\sqrt{2}$ .

Από το Π. Θ. στο τρίγωνου ACZ

έχω $AZ=\sqrt{128}$ .

Από το Π. Θ. στο τρίγωνο DZB

βρίσκω

.

Αλλά $(AZB)=\dfrac{AZ\cdot ZB\cdot \eta \mu 45^{0}}{2}=12$ .

#10

Altrian έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 7:28 pm
εγγράψιμο $\Rightarrow \angle CZD=45\Rightarrow EZ=5\Rightarrow DZ=13$

$(ABZ)+(DCZ)=(ABCD)/2\Rightarrow (ABZ)=\dfrac{89}{2}-\dfrac{5*13}{2}=12$

Η δεύτερη γραμμή ( ποια γραμμή δηλαδή τμήμα μιας γραμμής ) όλα τα λεφτά. Λύση για σεμινάριο

Τετράγωνο-44.

Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Re: Τετράγωνο-44.

Μέλη σε σύνδεση