Τετράγωνο-44.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1129
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράγωνο-44.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm

1.png
1.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου AZB (D, E, Z συνευθειακά).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τετράγωνο-44.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιούλ 27, 2019 8:16 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου AZB (D, E, Z συνευθειακά).
Καλησπέρα!

Από πυθαγόρειο στο DCE είναι DC=\sqrt{89}.Έστω L\equiv BC\cap DZ
Είναι \dfrac{CE}{DE}=\dfrac{CL}{DC}\Leftrightarrow CL=\dfrac{5}{8}\sqrt{89}
Έχουμε \bigtriangleup CEL\sim \bigtriangleup BZL\Leftrightarrow \dfrac{5}{BZ}=\dfrac{CL}{LB}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow BZ=3

Το ABZD είναι εγγράψιμο άρα \left ( ABZ \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{89}\cdot 3\cdot \sin\angle ABZ=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{89}\cdot 3\cdot\dfrac{8}{\sqrt{89}}=12


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8490
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο-44.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 28, 2019 11:29 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου AZB (D, E, Z συνευθειακά).
Φέρνω EH||=DA, οπότε τα DAHE, EHBC είναι παραλληλόγραμμα και AH=8, BH=5.
Τετράγωνο-44.png
Τετράγωνο-44.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές
Αλλά το DABZ είναι εγγράψιμο άρα, B\widehat ZA=A\widehat DB=45^\circ, οπότε το HAZ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και BZ=3.

\boxed{(ABZ)=\dfrac{BZ\cdot AH}{2}=12} (Τα Z, B, H εύκολα βγαίνουν συνευθειακά).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο-44.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 28, 2019 1:29 pm

Ας είναι K η προβολή του A στην DE και T το σημείο τομής των DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC/

Επειδή οι AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC έχουν ίσες προβολές στην DZ θα είναι :

DK = 5\,\,,\,\,KE = 3\,\,,\,\,EZ = 5/ Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο EDC έχω D{C^2} = 89 και από το ορθογώνιο τρίγωνο CDT έχω :
Τετράγωνο 44.png
Τετράγωνο 44.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές
D{C^2} = DE \cdot DT \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  ET = \frac{{25}}{8} \hfill \\ 
  TZ = \frac{{15}}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{ET}}{{TZ}} = \frac{5}{3} \hfill \\ 
  \frac{{ET}}{{TZ}} = \frac{{CE}}{{BZ}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{BZ = x = 3}

Το εμβαδόν που ζητάμε προκύπτει από το εμβαδόν του τραπεζίου AKZB μετά την αφαίρεση του εμβαδού του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου AKZ/

Δηλαδή : \boxed{(ABZ) = \frac{{3 + 8}}{2} \cdot 8 - \frac{{8 \cdot 8}}{2} = \frac{{8(11 - 8)}}{2} = 12}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1826
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τετράγωνο-44.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιούλ 28, 2019 4:14 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου AZB (D, E, Z συνευθειακά).

(ABZ)=\dfrac{1}{2}.AB.\upsilon ,\upsilon =ZL, (1),

Απο το Π.Θ η πλευρά του τετραγώνου είναι \sqrt{89}

Aπό μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο DCN,EN=\dfrac{25}{8},CN=\dfrac{5\sqrt{89}}{8},

Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

ZLT,ECN,LT=\dfrac{8\upsilon }{5},ZT=\dfrac{\sqrt{89}\upsilon }{5}, 

     ZT^{2}=LT.BT\Rightarrow BT=\dfrac{89\upsilon }{40},\dfrac{\upsilon }{NB}=\dfrac{LT}{TB}\Rightarrow 

     u=\dfrac{24}{\sqrt{89}},(ABZ)=\dfrac{1}{2}\sqrt{89}.\dfrac{24}{\sqrt{89}}=12,



Γιάννης
Συνημμένα
Τετράγωνο 44.png
Τετράγωνο 44.png (80.32 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Τετράγωνο-44.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Ιούλ 28, 2019 5:53 pm

STOPJOHN έγραψε:
Κυρ Ιούλ 28, 2019 4:14 pm
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιούλ 27, 2019 7:19 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου AZB (D, E, Z συνευθειακά).

(ABZ)=\dfrac{1}{2}.AB.\upsilon ,\upsilon =ZL, (1),

Απο το Π.Θ η πλευρά του τετραγώνου είναι \sqrt{89}

Aπό μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο DCN,EN=\dfrac{25}{8},CN=\dfrac{5\sqrt{89}}{8},

Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

ZLT,ECN,LT=\dfrac{8\upsilon }{5},ZT=\dfrac{\sqrt{89}\upsilon }{5},  
 
     ZT^{2}=LT.BT\Rightarrow BT=\dfrac{89\upsilon }{40},\dfrac{\upsilon }{NB}=\dfrac{LT}{TB}\Rightarrow  
 
     u=\dfrac{24}{\sqrt{89}},(ABZ)=\dfrac{1}{2}\sqrt{89}.\dfrac{24}{\sqrt{89}}=12,



Γιάννης


Καλησπέρα! Και εγώ κάπως έτσι το είχα σκεφτεί .

Λίγο πιο πάνω ο Πρόδρομος βρήκε ότι

 \displaystyle BZ = 3 ,CN=\frac{5\sqrt{89}}{8} και  BC = \sqrt{89},

οπότε θα θεωρήσω ότι αυτά είναι γνώστά. Είναι απ το σχήμα του STOPJOHN

\displaystyle BN = BC-CN =\frac{3\sqrt{89}}{8}

Τα τρίγωνα BLZ και BNZ είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια και \displaystyle\angle HBZ=\angle BZL ως εντός εναλλάξ.

Αρα

\displaystyle \frac{NB}{BZ}=\frac{BZ}{ZL}\Rightarrow ZL=\frac{24}{\sqrt{89}}

Οπότε

\displaystyle (ABZ) = \frac{1}{2}ABZL=\frac{1}{2}\sqrt{89}\frac{24}{\sqrt{89}}=12


Καλό Καλοκαίρι!
Altrian
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τετράγωνο-44.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Ιούλ 28, 2019 7:28 pm

DCZBA εγγράψιμο \Rightarrow \angle CZD=45\Rightarrow EZ=5\Rightarrow DZ=13

(ABZ)+(DCZ)=(ABCD)/2\Rightarrow (ABZ)=\dfrac{89}{2}-\dfrac{5*13}{2}=12


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4427
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τετράγωνο-44.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιούλ 28, 2019 7:36 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια λύση με σύστημα συντεταγμένων, όπου έκανα αντιστροφή στο σχήμα για να είναι πιο "βολικές" οι εξισώσεις.


28-07-2019 Γεωμετρία.png
28-07-2019 Γεωμετρία.png (34.62 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο DEC είναι  \displaystyle DC = a = \sqrt {89} .

Έστω  \displaystyle D\left( {0,0} \right),\;C\left( {a,0} \right),\;B\left( {a,\;a} \right),\;A\left( {0,\;a} \right) .

 \displaystyle \varepsilon \varphi \left( {CDE} \right) = \frac{5}{8} \Rightarrow \;\;DE:\;\;y = \frac{5}{8}x .

Είναι  \displaystyle BZ \bot DE οπότε  \displaystyle BZ:\;y - a =  - \frac{8}{5}\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow y =  - \frac{8}{5}x + \frac{{13}}{5}a

Θέτω  \displaystyle a = \sqrt {89} και βρίσκω ότι τέμνονται στο  \displaystyle Z\left( {\frac{{104}}{{\sqrt {89} }},\;\frac{{65}}{{\sqrt {89} }}} \right) .

Είναι  \displaystyle \left( {ABZ} \right) = \frac{{AB \cdot d\left( {Z,\;AB} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {89}  \cdot \left( {\sqrt {89}  - \frac{{65}}{{\sqrt {89} }}} \right)}}{2} = \frac{{89 - 65}}{2} = 12 .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1129
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράγωνο-44.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Ιούλ 28, 2019 10:07 pm

1.png
1.png (21.65 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
Προφανώς το Z ανήκει στο περίκυκλο του τετραγώνου.

Οπότε \angle CZD=\angle DZA=\angle AZB=45^{0}.

Εύκολα βρίσκω ότι AC=BD=\sqrt{178} και CZ=5\sqrt{2}.

Από το Π. Θ. στο τρίγωνου ACZ έχω AZ=\sqrt{128}.

Από το Π. Θ. στο τρίγωνο DZB βρίσκω ZB=3.

Αλλά (AZB)=\dfrac{AZ\cdot ZB\cdot \eta \mu 45^{0}}{2}=12.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο-44.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 28, 2019 10:52 pm

Altrian έγραψε:
Κυρ Ιούλ 28, 2019 7:28 pm
DCZBA εγγράψιμο \Rightarrow \angle CZD=45\Rightarrow EZ=5\Rightarrow DZ=13

(ABZ)+(DCZ)=(ABCD)/2\Rightarrow (ABZ)=\dfrac{89}{2}-\dfrac{5*13}{2}=12
Η δεύτερη γραμμή ( ποια γραμμή δηλαδή τμήμα μιας γραμμής ) όλα τα λεφτά. Λύση για σεμινάριο :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης