Πότε είναι κύκλος;

#1

Έστω δύο συγκεκριμένοι μιγαδικοί αριθμοί z_1

και

.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς

ισχύει $\left | z-z_1 \right |^{2}+\left | z-z_2 \right |^{2}=k,(1)$
Για ποιές τιμές της παραμέτρου

η

εκφράζει κύκλο;

#2

Δε ξέρω αν υπάρχει κάτι συντομότερο αλλά το παρακάτω λύνει την άσκηση σχετικά γρήγορα.

Έστω $z=x+yi, \ z_1=x_1+y_1i, \ z_2=x_2+y_2i$ .

Τότε η δοσμένη γράφεται:

$\begin{aligned} & (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=k \\ &\Leftrightarrow x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y+\dfrac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2-k}{2}=0\end{aligned}$ .

Η τελευταία εξίσωση εκφράζει κύκλο αν και μόνο αν

$\begin{aligned} &(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-4\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2-k}{2}\right)>0 \\ &\Leftrightarrow 2k>(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \Leftrightarrow k>\dfrac{|z_1-z_2|^2}{2}\end{aligned}$ .

Αλέξανδρος

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:19 am
Έστω δύο συγκεκριμένοι μιγαδικοί αριθμοί και .
Για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει $\left | z-z_1 \right |^{2}+\left | z-z_2 \right |^{2}=k,(1)$
Για ποιές τιμές της παραμέτρου η εκφράζει κύκλο;

Χρήστο και Αλέξανδρε γειά σας...

Μπορούμε και με απλό γεωμετρικό τρόπο, εργαζόμενοι στο ακόλουθο σχήμα:

: Μιγαδικοί - κύκλος 1.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Αν τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ είναι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{Z_1, Z_2}$ αντίστοιχα και το σημείο $\displaystyle{M}$ η εικόνα του
μιγαδικού $\displaystyle{z}$ τότε από το πρώτο θεώρημα των διαμέσων έχουμε:

$\displaystyle{MA^2+MB^2=2MO^2+\frac{AB^2}{2} \ \ (1) }$

Αντίστοιχα η δοθείσα σχέση γράφεται:

$\displaystyle{MA^2+MB^2=k \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{OM=\frac{1}{2} \sqrt{2k-AB^2} \ \ (3) }$

Έτσι η σχέση (3) για να εκφράζει πραγματικό κύκλο(έστω και μηδενικής ακτίνας), θα πρέπει για την παράμετρο $\displaystyle{k \in R}$ να ισχύει:

$\displaystyle{k\geq \frac{AB^2}{2} }$

ή

$\displaystyle{k\geq \frac{\left|z_1-z_2\right|^2}{2} }$

Κώστας Δόρτσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:19 am
Έστω δύο συγκεκριμένοι μιγαδικοί αριθμοί και .
Για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει $\left | z-z_1 \right |^{2}+\left | z-z_2 \right |^{2}=k,(1)$
Για ποιές τιμές της παραμέτρου η εκφράζει κύκλο;

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του παραλληλογράμου έχουμε

$|z-z_{1}|^{2}+|z-z_{2}|^{2}=\frac{1}{2}(|2z-z_{1}-z_{2}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2})$

με βάση αυτή η αρχική γράφεται

$|z-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}|^{2}=\frac{1}{4}(2k-|z_{1}-z_{2}|^{2})$

που δείχνει ότι είναι κύκλος αν και μόνο αν

$2k>|z_{1}-z_{2}|^{2}$

Πότε είναι κύκλος;

Πότε είναι κύκλος;

Re: Πότε είναι κύκλος;

Re: Πότε είναι κύκλος;

Re: Πότε είναι κύκλος;

Μέλη σε σύνδεση