Ζητείται λόγος-3.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(ABD)}{(ACD)}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 24, 2019 10:46 pm
1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(ABD)}{(ACD)}$ .

Καλησπέρα !

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

και η διχοτόμος

της γωνίας $\angle BAC'$ .

Έχουμε $\angle BAL=\angle LAC'=\angle C'AD=\angle DAC$

Έχουμε AC'=a

άρα από θεώρημα διχοτόμων στο BAC'

αν

τότε

Με θεώρημα διχοτόμων στο BAC

είναι

άρα $CC'=\dfrac{4}{3}x$ και έτσι $DC=\dfrac{2}{3}x$

Έχουμε $\dfrac{\left ( BAD \right )}{\left ( ADC \right )}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{4x+\dfrac{2}{3}x}{\dfrac{2}{3}x}=7$

: 99.PNG (15.96 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

#3

Κατασκευή

Έστω τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα

. Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε

σημείο

του οποίου, $\boxed{\frac{{MB}}{{MC}} = 3}$ . Αν ο κύκλος αυτός κόψει το

στο

για κάθε

σημείο

του κύκλου στο τρίγωνο MBC

η

θα είναι διχοτόμος του .

Φέρνω λοιπόν τη μεσοκάθετο

και τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία . Έστω

το ένα απ’ αυτά . Το τρίγωνο ABC

προφανώς είναι το ζητούμενο .

: Ζητείται λόγος_3.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Υπολογισμός

Αν ED = DC = m

τότε: $\dfrac{{EB}}{{EC}} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} EB = 6m \hfill \\ BD = 7m \hfill \\ DC = m \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{(ABD)}}{{(ADC)}} = \frac{{DB}}{{FC}} = 7}$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Μία τριγωνομετρική.
Με γενικευμένο θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ABC

έχουμε: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3a\cdot \sin 3\vartheta }{a\cdot \sin} =\dfrac{3\cdot \sin( 3\vartheta ) }{\sin\vartheta }=\dfrac{3(3\sin\vartheta - 4\sin^{3}\vartheta ) }{\sin\vartheta} =9-12\sin^{2} \,\,\,(1)$
Με νόμο ημιτόνων τρίγωνο ABC

έχουμε

$\dfrac{\sin\left ( 90-\vartheta \right )}{3a}=\dfrac{\sin\left ( 90-3\vartheta \right )}{a}\Leftrightarrow \cos\vartheta =3\cdot \cos3\vartheta\Leftrightarrow 12\cos^2\vartheta =10\cos\vartheta \Leftrightarrow \cos^2\vartheta =\dfrac{5}{6},\sin\vartheta =\,\,\,\,==\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
Aντικαθιστώντας στην (1)

πέρνουμε $\dfrac{\left ( ABD \right )}{\left ( ADC \right )}=\dfrac{BD}{DC}=9-12\cdot \dfrac{6}{36}=9-2=7$

Ζητείται λόγος-3.

Ζητείται λόγος-3.

Re: Ζητείται λόγος-3.

Re: Ζητείται λόγος-3.

Re: Ζητείται λόγος-3.

Μέλη σε σύνδεση