Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιούλ 16, 2019 9:32 pm

Βρείτε το ευρύτερο δυνατό διάστημα από το οποίο λαμβάνει τιμές η παράμετρος c έτσι ώστε
η συνάρτηση f(x)=\frac{x^2+2x+c}{x^2+4x+3c} να έχει σύνολο τιμών όλο το \mathbb{R}.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2543
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm

Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η f(x) γράφεται f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}.

Ισχύει ότι \displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1.

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} πρέπει η εξίσωση
x^2 + 4x + 3c = 0 να έχει λύση. Ισοδύναμα  c \leq \frac{4}{3}.

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιούλ 16, 2019 10:15 pm

polysot έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm
Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η f(x) γράφεται f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}.

Ισχύει ότι \displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1.

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} πρέπει η εξίσωση
x^2 + 4x + 3c = 0 να έχει λύση. Ισοδύναμα  c \leq \frac{4}{3}.

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;
Σωτήρη όχι. π.χ. c=-7 , c=0 :P


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2543
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Ιούλ 16, 2019 11:34 pm

rek2 έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:15 pm
polysot έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm
Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η f(x) γράφεται f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}.

Ισχύει ότι \displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1.

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} πρέπει η εξίσωση
x^2 + 4x + 3c = 0 να έχει λύση. Ισοδύναμα  c \leq \frac{4}{3}.

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;
Σωτήρη όχι. π.χ. c=-7 , c=0 :P
Προφανώς και όχι! Διερευνητική ήταν η ερώτηση!

Γιατί όμως; Ποιος ο ρόλος της παραμέτρου c στη συνάρτηση f;

Παρεμπιπτώντως αν έγιναν σωστά οι πράξεις, οι κατάλληλες τιμές της παραμέτρου είναι:


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιούλ 17, 2019 11:48 am

polysot έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 11:34 pm
rek2 έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:15 pm
polysot έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm
Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η f(x) γράφεται f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}.

Ισχύει ότι \displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1.

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} πρέπει η εξίσωση
x^2 + 4x + 3c = 0 να έχει λύση. Ισοδύναμα  c \leq \frac{4}{3}.

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;
Σωτήρη όχι. π.χ. c=-7 , c=0 :P
Προφανώς και όχι! Διερευνητική ήταν η ερώτηση!

Γιατί όμως; Ποιος ο ρόλος της παραμέτρου c στη συνάρτηση f;

Παρεμπιπτώντως αν έγιναν σωστά οι πράξεις, οι κατάλληλες τιμές της παραμέτρου είναι:
Σωτήρη καλή ερώτηση!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 17, 2019 12:10 pm

Είναι φανερό από την μορφή που έφερε την συνάρτηση ο Σωτήρης
ότι για να έχει πεδίο τιμών το \mathbb{R}
πρέπει να έχει κάθετες ασύμπτωτες.
Κανένας δεν μας λέει ότι αν μια συνάρτηση έχει κάθετες ασύμπτωτες τότε έχει πεδίο τιμών το \mathbb{R}.
Εγω δεν βλέπω τίποτα περίεργο.
Ο Σωτήρης στην απόκρυψη έχει σωστά τις πράξεις.
(το ίδιο έχω βρει)


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2543
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Πέμ Ιούλ 18, 2019 10:38 am

Ας γράψουμε και μία λύση:

Έχουμε
f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 + 4x + 3c} , D_f =\mathbb{R} - \left\{ -2 \pm \sqrt{4-3c}\right\} αν c\leq 4/3} ή D_f = \mathbb{R} αν c >  4/3}
Θέτουμε y=f(x) =1- 2 \frac{x+c}{x^2 + 4x + 3c} και θα λύσουμε ως προς x.

H εξίσωση γράφεται:

1-y = 2 \frac{x+c}{x^2 + 4x + 3c} \Leftrightarrow

(y-1) x^2 + 2(2y-1) x + c(3y-1) = 0 \Leftrightarrow

[*] Για y\neq 1 η παραπάνω εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και για να έχει λύση πρέπει \Delta\geq 0

4(y-1)^2 - 4(y-1)(3y-1)c \geq 0 \Leftrightarrow
4(y-1)(y-1-3yc +c) \geq 0 \Leftrightarrow
4(y-1)(y(1-3c)+c-1)\geq 0 \Leftrightarrow

Επειδή θέλουμε το σύνολο τιμών να είναι το \mathbb{R} πρέπει να υπάρχει λύση της αρχικής εξίσωσης ως προς x για κάθε y\in \mathbb{R} με y\neq 1 που εξετάζουμε εδώ. Συνεπώς πρέπει \Delta \geq 0, \forall y\in \mathbb{R}-\left\{ 1\right\}.

Οπότε, ισοδύναμα, πρέπει να ισχύει:

4(y-1)(y(1-3c)+c-1)\geq 0, \ \forall y \in \mathbb{R}-  \left\{ 1\right\} \Leftrightarrow
(4-3c)y^2 +4(c-1)y + 1-c \geq 0 , \ \forall y \in \mathbb{R}-  \left\{ 1\right\} \Leftrightarrow

\Delta_1 \leq 0 και  (4-3c)>0 \Leftrightarrow
\Delta_1 = 16(c-1)^2 - 4 (4-3c)(1-c) \leq 0 και  c< \frac{4}{3} \Leftrightarrow
4(c-1)c \leq 0 και  c< \frac{4}{3} \Leftrightarrow
c\in \left[0, 1\right]
[*] Για y=1 έχουμε:

0 x^2 + 2x + 2c = 0 \Leftrightarrow x = -c, οπότε η αρχική γίνεται:
Όμως για x \neq -2 \pm \sqrt{4-3c} \Leftrightarrow c \neq 0, 1.

Συνεπώς, έχουμε ότι:
c\in (0,1).


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης