Όριο ολοκληρώματος

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θεωρούμε την $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ και το ολοκλήρωμα γράφεται $\displaystyle \int_0^1 \ f(x)|\sin nx|\, \mathrm{d}x$ .

Με την αλλαγή μεταβλητής $u\rightarrow nx$ πάμε στο $\displaystyle \frac{1}{n}\int_0^n \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x$ .

Τώρα σπάμε το [0,n]

σε διαστήματα μήκους $\pi$ (στο τέλος περισσεύει ένα διάστημα μήκους $n-\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi <\pi.$ )

To τελευταίο ολοκλήρωμα γράφεται τώρα

$\displaystyle \frac{1}{n}\left (\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]}\int_{k\pi} ^{(k+1)\pi } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x+\int_{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi } ^{n } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x \right )$

$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]}\int_{k\pi} ^{(k+1)\pi } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x+ \frac{1}{n}\int_{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi } ^{n } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x \right )=A+B.$

Ξεφορτωνόμαστε τώρα το απόλυτο ως εξής:

Με $u\rightarrow x-k\pi$ έχουμε

$\displaystyle \int_{k\pi} ^{(k+1)\pi } \ f\left (\frac{x}{n} \right )|\sin x|\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi}f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\left |\sin( x+k\pi) \right |\, \mathrm{d}x= \int_{0}^{\pi}f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\left \sin x \, \mathrm{d}x.$

Επίσης, επειδή η

είναι γνησίως φθίνουσα, έχουμε

$\displaystyle nB =\int_{\left [ \frac{n}{\pi} \right ]\pi}^{n} f\left ( \frac{x}{n} \right ) \left | \sin x \right |\, \mathrm{d}x <\int_{\left [ \frac{n}{\pi} \right ]\pi}^{n} f(0) \left | \sin x \right |\, \mathrm{d}x<\int_{0}^{\pi} \sin x \, \mathrm{d}x=2.$

Συνεπώς $\displaystyle 0<B<\frac{2}{n}\Rightarrow B\rightarrow 0$ .

Δείχνουμε τέλος ότι $\displaystyle A=\int_{0} ^{\pi }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]} \ f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\sin x\, \mathrm{d}x\rightarrow \int_{0} ^{\pi }\left ( \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f(x)\, \mathrm{d}x \right )\sin x\, \mathrm{d}x=\frac{1}{2}.$

Γι'αυτό θα δείξουμε ότι $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]} \ f\left (\frac{x+k\pi}{n} \right )\rightarrow \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}f(x)\, \mathrm{d}x$ ομοιόμορφα στο $[0,\pi].$

Πράγματι, για κάθε $x \in[0,\pi]$ , επειδή η

είναι γνησίως φθίνουσα παίρνουμε

$\displaystyle f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right ) \leq f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )\Rightarrow \frac{1}{n}f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right ) \leq \frac{1}{n}f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{n}f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )$
και

$\displaystyle \frac{f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right )}{n} \leq \frac{1}{\pi}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x\leq \frac{f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )}{n}.$

Άρα

$\displaystyle \frac{1}{n}f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right )-\frac{1}{n}f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{\pi}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x - \frac{1}{n}f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{n}f\left ( \frac{k\pi}{n} \right )-\frac{1}{n}f\left ( \frac{(k+1)\pi}{n} \right ).$

Αθροίζοντας τις τελευταίες για $k=0,1,...,\left [ \frac{n}{\pi} \right ]$ παίρνουμε

$\displaystyle \frac{1}{n}f\left ( \frac{(\left [ \frac{n}{\pi} \right ]+1)\pi}{n} \right )-\frac{1}{n}f\left ( 0\right )\leq \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{(\left [ \frac{n}{\pi} \right ]+1)\pi}{n}}f(x)\,\mathrm{d}x - \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\left [ \frac{n}{\pi} \right ]}f\left ( \frac{x+k\pi}{n} \right )\leq \frac{1}{n}f\left ( 0 \right )-\frac{1}{n}f\left ( \frac{(\left [ \frac{n}{\pi} \right ]+1)\pi}{n} \right )$

και παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ έχουμε το ζητούμενο.

H απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$

Θα δείξω κάτι γενικότερο

Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx$

Από σειρές Fourier έχουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$
είναι
$\displaystyle |\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\cos 2kx}{4k^{2}-1}$

Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\int_{0}^{1}f(x)\frac{\cos 2knx}{4k^{2}-1}dx$ (1)

Χρησιμοποιώντας ότι

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{4k^{2}-1}< +\infty$

και το Riemann-Lebesgue

παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ στην (1) έχουμε το ζητούμενο.

sot arm · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$
Θα δείξω κάτι γενικότερο

Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx$

Από σειρές Fourier έχουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$
είναι
$\displaystyle |\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\cos 2kx}{4k^{2}-1}$

Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\int_{0}^{1}f(x)\frac{\cos 2knx}{4k^{2}-1}dx$ (1)

Χρησιμοποιώντας ότι

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{4k^{2}-1}< +\infty$

και το Riemann-Lebesgue

παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ στην (1) έχουμε το ζητούμενο.

Από την σκοπιά της Fourier γενικεύεται και άλλο. Συγκεκριμένα, έστω $f \in L_{1}(\mathbb{T}), g \in L_{\infty} (\mathbb{T})$ τότε:
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}} f(x)g(nx)dx=\widehat{f} (0)\widehat{g}(0)$

Όπου $\mathbb{T}$ ο μοναδιαιος κύκλος, τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

sot arm έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2019 6:23 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2019 5:11 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:52 am
Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$
Θα δείξω κάτι γενικότερο

Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$
Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx$

Από σειρές Fourier έχουμε ότι για $x\in \mathbb{R}$
είναι
$\displaystyle |\sin x|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\cos 2kx}{4k^{2}-1}$

Επειδή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα είναι

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{4}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\int_{0}^{1}f(x)\frac{\cos 2knx}{4k^{2}-1}dx$ (1)

Χρησιμοποιώντας ότι

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{4k^{2}-1}< +\infty$

και το Riemann-Lebesgue

παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ στην (1) έχουμε το ζητούμενο.
Από την σκοπιά της Fourier γενικεύεται και άλλο. Συγκεκριμένα, έστω $f \in L_{1}(\mathbb{T}), g \in L_{\infty} (\mathbb{T})$ τότε:
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}} f(x)g(nx)dx=\widehat{f} (0)\widehat{g}(0)$

Όπου $\mathbb{T}$ ο μοναδιαιος κύκλος, τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue.

Μπράβο Σωτήρη.
Αν και γνώριζα την σχέση δεν πήγε το μυαλό μου σε αυτήν.
Αν την προσαρμόσουμε στο [0,1]

το αποτέλεσμα γίνεται τετριμμένο.

Αποδίδεται στον Fejer και ισχύει ακόμα αν

$f \in L_{p}(\mathbb{T}), g \in L_{q} (\mathbb{T})$

με $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,p,q>0$

Η απόδειξη της είναι σχετικά εύκολη.

Όριο ολοκληρώματος

Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση