acosx+bsinx=c

#1

Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

$3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}$

Καμμιά καλή ιδέα;;

#2

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm
Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

$3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}$

Καλό.

H δοθείσα (συν Cauchy-Schwarz) δίνει

$\displaystyle{3\sqrt{3}= 3\sin a \cos x-\cos a \sin x -4\cos a \le |3\sin a \cos x-\cos a \sin x -4\cos a|=}$

$\displaystyle{=|(3\sin a )\cos x-\cos a \sin x -(2\sqrt 2\cos a) \sqrt 2|\le \sqrt {|(3\sin a )^2 + \cos ^2 a +(2\sqrt 2\cos a)^2} \sqrt { \cos ^2x + \sin ^2x +2}=}$

$\displaystyle{= \sqrt {9\sin ^2a + 9 \cos ^2 a }\sqrt 3=3\sqrt 3}$

Άρα έχουμε ισότητα παντού (και στην C-S) που σημαίνει ότι για κάποια σταθερά

είναι

$\displaystyle{3\sin a = d\cos x, -\cos a = d \sin x , -2\sqrt 2 \cos a= d\sqrt 2}$ . Από τις δύο τελευταίες είναι $\sin x=1/2$ και λοιπά. (Ελπίζω μην έχασα κάποιο πρόσημο).

Edit. Διόρθωσα μικρό λογιστικό σφάλμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm
Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

$3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}$

Καμμιά καλή ιδέα;;

Γεια σου Κώστα.
Είναι γνωστό ότι η

$A\cos x+B\sin x=C$

έχει λύση αν και μόνο αν

$A^{2}+B^{2}\leq C^{2}$

αντικαθιστώντας και κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι

$\cos a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ετσι $\sin a=\frac{1}{2} or \sin a=-\frac{1}{2}$

στην πρώτη περίπτωση έχουμε την

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1$

που δίνει λύσεις $x=2k\pi +\frac{\pi }{6},k\in \mathbb{Z}$

ενώ στην δεύτερη

$-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1$

που δίνει λύσεις $x=2k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbb{Z}$

σημείωση.
1)Από ότι βλέπω με πρόλαβε ο Μιχάλης με λύση λίγο διαφορετική.
Τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά.
Θα ελέγξω και αν έχω λάθος θα επανέλθω.
2)Ενας άλλος τρόπος να λυθεί θα ήταν να θέσουμε

$t=\tan \frac{x}{2}$

οπότε προκύπτει τριώνυμο ως προς

.
Στην συγκεκριμένη η παραπάνω λύση είναι καλύτερη αφού μπορούμε να βρούμε το $\cos a$

#4

Μιχάλη, Σταύρο σας ευχαριστώ!

Να είστε πάντα καλά!

Τελικά εχουμε λύσει το θέμα 5 του συνδέσμου

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 36&t=64792

( οι περιορισμοί διευθετουνται εύκολα)

Και πάλι σας ευχαριστώ!

#5

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 11:03 pm
Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση:

$3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}$

Καμμιά καλή ιδέα;;

Μιχάλη, Σταύρο, Κώστα γεια σας!

Πάντα μια παράμετρος σε μια παράσταση, κυρίως σε μια συνάρτηση δημιουργεί μια "κινητικότητα" που
εμένα με προκαλεί!

Στην προκειμένη περίπτωση αν δώσουμε στην παράμετρο $\displaystyle{a}$ τιμές από το διάστημα $\displaystyle{[0, 2\pi]}$ τότε
θα δούμε την ημιτονοειδή καμπύλη να κινείται και για δυο τιμές τις $\displaystyle{a_1=150^o}$ και $\displaystyle{a_2=210^o}$
να "κρέμεται στα μανταλάκια"(στις δυο ακολουθίες ριζών)

: Τριγωνομετρική λύση 2.png (22.98 KiB) Προβλήθηκε 1331 φορές

Για να δείτε την όλη κίνηση μπείτε στο αρχείο που παραθέτω στο οποίο έχω και οδηγίες χρήσης.

Τριγωνομετρική εξίσωση 1.ggb: (17 KiB) Μεταφορτώθηκε 48 φορές

Κώστας Δόρτσιος

acosx+bsinx=c

acosx+bsinx=c

Re: acosx+bsinx=c

Re: acosx+bsinx=c

Re: acosx+bsinx=c

Re: acosx+bsinx=c

Μέλη σε σύνδεση