Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

#1

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακολουθίες $\rm (a_n),(b_n),(c_n)$ για τις οποίες να ισχύει για κάθε $\rm n\geq 1$ :

$\bullet$ $\rm c_n>0$

$\bullet$ $\rm a_n<b_n$

$\bullet$ $\rm a^4_n-2019a_n=b^4_n-2019b_n=c_n$

ώστε $\displaystyle{\rm \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}}=-1$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2019 12:07 am
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακολουθίες $\rm (a_n),(b_n),(c_n)$ για τις οποίες να ισχύει για κάθε $\rm n\geq 1$ :

$\bullet$ $\rm c_n>0$

$\bullet$ $\rm a_n<b_n$

$\bullet$ $\rm a^4_n-2019a_n=b^4_n-2019b_n=c_n$

ώστε $\displaystyle{\rm \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}}=-1$

Πολλές υπάρχουν.
Εστω $f(x)=x^{4}-2019x$

Είναι $f((-\infty,0 ])=[0,\infty )$ και γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,0 ]$

ενώ στο $[100,\infty )$ είναι γνησίως αύξουσα με $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$

Η (b_n)

είναι οποιαδήποτε ακολουθία ώστε
i) $b_{n}\geq 100,n\in \mathbb{N}$
ii) $b_{n}\rightarrow \infty$

Προφανώς $c_{n}=f(b_{n})$

Το $a_{n}$ είναι ο μοναδικός αρνητικός με $c_{n}=f(a_{n})$

Είναι φανερό ότι $a_{n}\rightarrow -\infty$

Εχουμε ότι
$\displaystyle (\dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}})^{4}=\frac{c_{n}c_{n}}{a_{n}^{4}b_{n}^{4}}=(1-\frac{2019}{a_{n}^{3}})(1-\frac{2019}{b_{n}^{3}})$

παίρνοντας
$n\rightarrow \infty$
έχουμε ότι
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }(\dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}})^{4}=1$

Επειδή η παράσταση είναι αρνητική προκύπτει ότι

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }(\dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}})=-1$

#3

Σταύρο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση . Θα εξηγήσω πως προέκυψε το ερώτημα. Ας θυμίσω τη διατύπωση του προβλήματος.

Πρόβλημα 2 (Σαουδική Αραβία)
Έστω a,b

διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί και

θετικός πραγματικός αριθμός. Αν ισχύει ότι $\displaystyle{a^4-2019a=b^4-2019b=c,}$ να αποδείξετε ότι $-\sqrt{c}<ab<0$ .

Δηλαδή το συμπέρασμα του προβλήματος που ετέθη είναι ότι $\dfrac{\sqrt c}{ab}<-1.$
Αναρωτήθηκα αν η σταθερά -1 βελτιώνεται. Η απάντηση είναι πως δεν βελτιώνεται. Το δικό μου παράδειγμα προέκυψε ως εξής:
Τα a,b

ικανοποιούν τη σχέση (a+b)(a^2+b^2)=2019

με

Ψάχνω

κοντά στο μηδέν, π.χ. $a+b=\dfrac{1}{n}$ (εδώ θα δούλευε κάθε μηδενική και θετική ακολουθία).Τότε a^2+b^2=2019n.

Λύνοντας το σύστημα βρίσκω $a=\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2}\sqrt{4038n-\dfrac{1}{n^2}}$ και $b=\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2}\sqrt{4038n-\dfrac{1}{n^2}}.$
Προφανώς $\dfrac{a}{b}\rightarrow-1.$
Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι $\dfrac{\sqrt c}{-ab}=\sqrt{-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}-1}$ οπότε $\dfrac{\sqrt c}{ab}\rightarrow-1.$

Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Μέλη σε σύνδεση