Ισόπλευρο και τμήμα

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

Στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, παίρνουμε σημείο

και φέρουμε τις προβολές PD,PE

στις πλευρές AB,AC

αντίστοιχα.

Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου , παίρνουμε σημείο και φέρουμε τις προβολές στις πλευρές αντίστοιχα.

Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος

Καλησπέρα σε όλους!

Αν

είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, τότε με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Ισόπλευρο και τμήμα.ΜΝ.png (19.37 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

$\displaystyle x + y + 2 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x + x\sqrt 2 \sin 15^\circ + 2 = \frac{{(x + 3\sqrt 3 )\sqrt 3 }}{2},\sin 15^\circ = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}$

και μετά τις πράξεις, x=5

και $\boxed{PB = x\sqrt 2 = 5\sqrt 2 }$

STOPJOHN · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου , παίρνουμε σημείο και φέρουμε τις προβολές στις πλευρές αντίστοιχα.

Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος

Καλησπέρα

Εστω $ST//BC,SK\perp AC,SD=t,$

Τότε $\hat{SPB}=15^{0},\hat{DPB}=60^{0},\hat{DSP}=60^{0}=\hat{ATS},$ ,

Από γνωστή ασκηση

$DP+PE=SK\Rightarrow DP=\dfrac{t\sqrt{3}+5}{2},SP=2t,PT=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} ,ET=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, BP^{2}=2DP^{2}\Rightarrow BP^{2}=\dfrac{(5+t\sqrt{3})^{2}}{2} ,AS=ST\Rightarrow t=\dfrac{5\sqrt{3}}{3},BP^{2}=50\Leftrightarrow BP=5\sqrt{2}$

Γιάννης

#4

Κατασκευή

Σε ευθεία

θεωρώ σημείο

και κατασκευάζω δύο ημιευθείες ${h_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_2}$ προς το αυτό μέρος της ευθείας και σχηματίζοντας από $30^\circ$ .

Πάνω στην ${h_2}$ θεωρώ σημείο

για το οποίο $\boxed{PE = 2}$ .

Φέρνω την ευθεία

. κάθετη στο

επί την ${h_2}$ και μεταξύ αυτής και της ${h_1}$ τοποθετώ τμήμα μήκους $3\sqrt 3$ και κάθετο στην ${h_1}$ .

Για την κατασκευή αυτή τοποθετώ τμήμα $PT \bot {h_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{PT = 3\sqrt 3 }$ . . Η παράλληλη προς την ${h_1}$ από το

τέμνει την

στο

Η κάθετη από το

στην ${h_1}$ την τέμνει στο

. Στην δε προέκταση της

θεωρώ τμήμα

, ώστε :

Φέρνω παράλληλη από το

, παράλληλη στην ευθεία

που συναντά τη

στο

.

: ισόπλευρο και τμήμα.png (36.68 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Υπολογισμός

Αν

το σημείο τομής της $AT\,\,$ με την ${h_2}$ . Τα $\vartriangle TPS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EAS$ είναι της μορφής :

$\left( {90^\circ ,30^\circ ,60^\circ } \right)$ και αφού $PT = 3\sqrt 3$ θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} PS = 6 \hfill \\ TS = 3 \hfill \\ ES = 6 - 2 = 4 \hfill \\ SA = 8 \hfill \\ AT = 8 - 3 = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow DP = DB = 5 \Rightarrow BP = 5\sqrt 2$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου , παίρνουμε σημείο και φέρουμε τις προβολές στις πλευρές αντίστοιχα.

Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και $T\equiv PE\cap BC$

Το BDP

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $\widehat{DPB}=45^{\circ}$ . Από το εγγράψιμο ADPE

έχουμε ότι $\widehat{DPE}=120^{\circ}$

Άρα είναι $\widehat{BPT}=15^{\circ}$ .Το BPT

είναι ισοσκελές ,έστω BT=x

. Είναι $x+2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( a-x \right )\Leftrightarrow a=\dfrac{x\left ( 2+\sqrt{3} \right )+4}{\sqrt{3}}$

$BD=a-3\sqrt{3 }\Leftrightarrow BP=\dfrac{x\left ( 2+\sqrt{3} \right )-5}{\sqrt{3}}\,\,{*}$ .Με νόμο συνημιτόνων στο BTP

είναι $x=\dfrac{BP}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\dfrac{BP\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$

Αντικαθιστώντας το

στην

παίρνουμε εύκολα ότι $BP=5\sqrt{2}$

: 75.PNG (27.71 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

Altrian · #6

Καλησπέρα,

$u=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow SA=3\sqrt{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=SA\sqrt{3}=5\Rightarrow BP=5\sqrt{2}$

Σταμ. Γλάρος · #7

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου , παίρνουμε σημείο και φέρουμε τις προβολές στις πλευρές αντίστοιχα.

Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος

Καλησπέρα. Άλλη μια λύση στο πνεύμα των προηγουμένων...

: Ισόπλευρο και τμήμα.png (49.19 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Φέρω την

κάθετη στην

και την

κάθετη στην

.
Το

είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς σχηματίζονται τα ορθογώνια τρίγωνα ADF

και

.
Στο

έχουμε : $\widehat{ADF}=30^o$ , οπότε $AF=\dfrac{AD}{2}$ .
Aπό Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ίδιο τρίγωνο προκύπτει : $DF=\dfrac{9}{2}$ .
Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο DPG

έχουμε $DG=\dfrac{5}{2}$ και επειδή $\widehat{DPG}=30^o$
είναι $DG=\dfrac{DP}{2}$ επομένως DP=5

.
Τέλος από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο DBP

προκύπτει $BP=5\sqrt{2}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Γιώργος Μήτσιος · #8

Χαιρετώ όλη την παρέα! Από ένα για κάθε λύση που προηγήθηκε! Ακόμη μία με χρήση του σχήματος:

: Ισόπλευρο..Μ.Ν.PNG (9.59 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

Έχουμε $MN=\upsilon =x+2$ αλλά και MN=9/2 +x/2

. Οπότε

και $BP=5\sqrt{2}$ . Φιλικά , Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 4:07 pm
shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου , παίρνουμε σημείο και φέρουμε τις προβολές στις πλευρές αντίστοιχα.

Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος

$\displaystyle \tan {60^0} = \sqrt 3 = \frac{{x + y}}{x} \Rightarrow y = x\left( {\sqrt 3 - 1} \right) \Rightarrow ZC = x + 3\sqrt 3 - x\left( {\sqrt 3 - 1} \right)$

$\displaystyle \sin {60^0} = \frac{{ZP}}{{ZC}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + 2}}{{x + 3\sqrt 3 - x\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} \Rightarrow \boxed{x = 5} \Rightarrow \boxed{BP = 5\sqrt 2 }$

: Ισόπλευρο και τμήμα.png (27.55 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Ιστοσελίδα · #10

Αυτή είναι η ομορφιά της Γεωμετρίας...σας ευχαριστώ όλους για τις υπέροχες λύσεις! Η λύση μου είναι παρόμοια με του συνονόματου Μιχάλη, ακολουθώντας άλλη διαδρομή.

: shape.png (24.53 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Ισόπλευρο και τμήμα

Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Μέλη σε σύνδεση