Υπάρχει m

Tolaso J Kos · #1

Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα:

$\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 16, 2019 9:56 am
Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα:

$\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$

Ίσως υπάρχει ευκολότερος τρόπος αλλά δεν το βλέπω. Σημειώνω όμως ότι δεν βλέπω γιατί το θέμα είναι στον φάκελο της Ανάλυσης μια και δεν φαίνεται να σχετίζεται. Στο θέμα μας:

Αν ισχύει a_1-(a_2+...+a_n) > 0

, τελειώσαμε (με m=1

) γιατί τότε

$|a_1-(a_2+...+a_n) | =a_1-(a_2+...+a_n) \le a_1 \le \max a_k$ .

Ομοίως τελειώσαμε αν $a_1+a_2+...+a_{n-1}- a_n < 0$ γιατί τότε

$|a_1+a_2+...+a_{n-1}- a_n | = a_n -(a_1+a_2+...+a_{n-1}) \le a_n \le \max a_k$ .

Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι $a_1-(a_2+...+a_n) \le 0 \le a_1+a_2+...+a_{n-1}- a_n$ .

Άρα υπάρχει δείκτης

έτσι ώστε για πρώτη φορά ισχύει

$a_1+a_2+...+a_m -( a_{m+1}+... +a_n) \le 0 \le a_1+a_2+...+a_{m+1} -( a_{m+2}+... +a_n)$

Είναι τότε

$|a_1+a_2+...+a_m -( a_{m+1}+... +a_n)|+| a_1+a_2+...+a_{m+1} -( a_{m+2}+... +a_n)|=$

$-(a_1+a_2+...+a_m)+( a_{m+1}+... +a_n) + (a_1+a_2+...+a_{m+1} )-( a_{m+2}+... +a_n) = 2a_{m+1}$

Με άλλα λόγια έχουμε μία κατάσταση της μορφής $A+B\le 2a_{m+1}$ . Έπεται ότι τουλάχιστον ένας από τους A,B

είναι $\le a_{m+1}$ , όπως θέλαμε.

mikemoke · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 16, 2019 9:56 am
Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα:

$\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$

Είναι η άσκηση 37 του πρώτου κεφαλαίου .https://eclass.uoa.gr/modules/document/ ... kiseis.pdf

Υπάρχει m

Υπάρχει m

Re: Υπάρχει m

Re: Υπάρχει m

Μέλη σε σύνδεση