Κάθετη στη διάμεσο

#1

: Κάθετη στη διάμεσο.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Έστω

το σημείο τομής των υψών $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF$ τυχαίου τριγώνου ABC

.

ΟΙ ευθείες $EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο σημείο

.

Αν

η διάμεσος του $\vartriangle ABC$ , δείξετε ότι : $SH \bot AM$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png

Έστω το σημείο τομής των υψών $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF$ τυχαίου τριγώνου .

ΟΙ ευθείες $EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο σημείο .

Αν η διάμεσος του $\vartriangle ABC$ , δείξετε ότι : $SH \bot AM$ .

: Κάθετη στη διάμεσο.D.png (19.06 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

Η

τέμνει την

στο

Το

είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου

Άρα

είναι το σημείο $\displaystyle {\rm{Miquel}}$ του πλήρους

τετραπλεύρου CEFBAS

και $MT\bot AS.$ Οπότε

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASM

και το ζητούμενο έπεται.

thanasis.a · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png

Έστω το σημείο τομής των υψών $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF$ τυχαίου τριγώνου .

ΟΙ ευθείες $EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο σημείο .

Αν η διάμεσος του $\vartriangle ABC$ , δείξετε ότι : $SH \bot AM$ .

: draw1.png (26.5 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

..καλησπέρα.. μια λίγο ανάποδα.

Στα δεδομένα του προβλήματος , φέρνω την $AI\perp SL$ με $M\equiv AI\cap SC$ . Θα δείξουμε ότι

μέσο της

Στο $\bigtriangleup EBC$ με διατέμνουσα την (A,K,M)

έχουμε: $\displaystyle\frac{AC}{AE}\cdot \frac{KE}{KB}\cdot \frac{MB}{MC}=1$ . Για να δείξουμε ότι MB=MC

πρέπει να δείξουμε ότι: $\displaystyle\frac{AC}{AE}=\frac{KB}{KE}\,\,\,(1)$ .

Επίσης στο $\bigtriangleup AHL(HE\perp AL,\,\,AI\perp HL\Rightarrow K$ ορθόκεντρο οπότε $\displaystyle KL\perp AH\Rightarrow KL\left \| BC \Rightarrow \frac{KB}{KE}=\frac{LC}{EL}\,\,\,(2))$

Από το πλήρες τετράπλευρο AFHE.SC

έχουμε ότι (S,R/B,C)

αρμονική σημειοσειρά και άρα η δέσμη H.(S,R/B,C)

είναι αρμονική. Δηλαδή και η δέσμη H.(A,L/E,C)

είναι αρμονική όπότε $\displaystyle \frac{AE}{AC}=\frac{LE}{LC}\,\,\,(3)$

Κατά συνέπεια απο τις σχέσεις(2), (3) προκύπτει ή (1) που δείχνει ότι: MB=MC

miltosk · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png

Έστω το σημείο τομής των υψών $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF$ τυχαίου τριγώνου .

ΟΙ ευθείες $EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο σημείο .

Αν η διάμεσος του $\vartriangle ABC$ , δείξετε ότι : $SH \bot AM$ .

Χρησιμοποιώ το σχήμα της εκφώνησης. Το τετράπλευρο FEBC

είναι εγγράψιμο. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του FEBC

είναι το

.
Όμως: $A\equiv FB\cap EC$ , $S\equiv FE\cap BC$ και $H\equiv FC\cap EΒ$ .
Άρα

πολική του Α. Αφού όμως

είναι το κέντρο του κύκλου από τον ορισμό της πολικής $AM\perp SH$ .

#5

miltosk έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 13, 2019 9:40 pm

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 11, 2019 12:10 am
Κάθετη στη διάμεσο.png

Έστω το σημείο τομής των υψών $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF$ τυχαίου τριγώνου .

ΟΙ ευθείες $EF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο σημείο .

Αν η διάμεσος του $\vartriangle ABC$ , δείξετε ότι : $SH \bot AM$ .
Χρησιμοποιώ το σχήμα της εκφώνησης. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του είναι το .
Όμως: $A\equiv FB\cap EC$ , $S\equiv FE\cap BC$ και $H\equiv FC\cap EΒ$ .
Άρα πολική του Α. Αφού όμως είναι το κέντρο του κύκλου από τον ορισμό της πολικής $AM\perp SH$ .

Ωραίες όλες οι λύσεις. η πιο πάνω δε κομψή και λιτή

KARKAR · #6

Τα ενδιαφέροντα θέματα επανέρχονται . Παλιότερες λύσεις εδώ και στην παραπομπή .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 14, 2019 10:37 am
Τα ενδιαφέροντα θέματα επανέρχονται . Παλιότερες λύσεις εδώ και στην παραπομπή .

Πολύ ωραία Θανάση ! Κρατάς καλό λογαριασμό ! σαν τον "Παρμενίδη" )

Την άσκηση ( είχα ξεχάσει πως την είχες ανεβάσει κι ας έχω δώσει τότε λύση) τώρα την πήρα από το Βιβλίο

Μ.Γ. ΜΑΡΑΓΚΑΚΗ "Γεωμετρικά θέματα" -Ηράκλειο 1978. είναι το Θ 25 στη σελίδα 316 και υπάρχουν 5 λύσεις του . Η ημέτερη του 2013 που είναι ίδια με του νεαρού πιο πάνω δεν είναι απ αυτές που έχει στο βιβλίο του

Η λύση του Γιώργου του Βισβίκη αλλά και του Θανάση ( ) νομίζω είναι εντελώς νέες.

Κάθετη στη διάμεσο

Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Μέλη σε σύνδεση