Περίεργη συντρέχεια
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Περίεργη συντρέχεια
Ένα θέμα που μου προέκυψε (μπορεί να υπάρχει πολύ άμεση λύση,μπορεί και όχι):Έστω τρίγωνο και τα αντιδιαμετρικά των κορυφών στον περίκυκλο.Έστω τα μέσα των τόξων και οι τομές της ευθείας που ενώνει το περίκεντρο με το έκκεντρο του τριγώνου,με τις .Αν η εφαπτομένη στον στο και η τομή της με τον νδο. συντρέχουν.
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Περίεργη συντρέχεια
Έστω το σημείο , όπου είναι το έγκεντρο και το περίκεντρο αντιστοίχως, του δοσμένου τριγώνου .
Αποδεικνύεται η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη, ως άσκηση στα αρμονικά συζυγή ότι ισχύει και επομένως, έχουμε ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου και άρα, .
Έστω , το σημείο επαφής του έγκυκλου του στην πλευρά και έστω το σημείο .
Τα σημεία , είναι συνευθειακά γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα .
Έστω τα σημεία και .
Αποδεικνύεται όχι δύσκολα και θα ακολουθήσει το σχετικό Λήμμα ότι ισχύει . Παρατηρούμε τώρα, ότι οι δια των κορυφών του τριγώνου κάθετες ευθείες, επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , συντρέχουν στο σημείο και και και άρα, τα τρίγωνα είναι ορθολογικά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες , ως οι δια των κορυφών κάθετες ευθείες επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου και λόγω και , τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω από αύριο το σχήμα και τις λεπτομέρειες για το Λήμμα που αναφέρω πιο πάνω και για την αργότερα, αν δεν απαντηθεί.
Αποδεικνύεται η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη, ως άσκηση στα αρμονικά συζυγή ότι ισχύει και επομένως, έχουμε ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου και άρα, .
Έστω , το σημείο επαφής του έγκυκλου του στην πλευρά και έστω το σημείο .
Τα σημεία , είναι συνευθειακά γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα .
Έστω τα σημεία και .
Αποδεικνύεται όχι δύσκολα και θα ακολουθήσει το σχετικό Λήμμα ότι ισχύει . Παρατηρούμε τώρα, ότι οι δια των κορυφών του τριγώνου κάθετες ευθείες, επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου , συντρέχουν στο σημείο και και και άρα, τα τρίγωνα είναι ορθολογικά.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες , ως οι δια των κορυφών κάθετες ευθείες επί των ευθειών των πλευρών αντιστοίχως, του τριγώνου και λόγω και , τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω από αύριο το σχήμα και τις λεπτομέρειες για το Λήμμα που αναφέρω πιο πάνω και για την αργότερα, αν δεν απαντηθεί.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Περίεργη συντρέχεια
Μίνο, σ' ευχαριστώ πολύ. Eύχομαι σε όλους σας καλή επιτυχία στην ΙΜΟ.
Η ευθεία ταυτίζεται με την μεσοκάθετη ευθεία του ( γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα ) και έστω το σημείο .
Άρα, οι ευθείες είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία .
Συμμετρικές ως προς την είναι επίσης και οι ευθείες , όπου και επομένως, ισχύει
Αλλά,
Από και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά και οι ευθείες είναι συμμετρικές ως προς την . Προκύπτει έτσι, ότι και οι ευθείες είναι επίσης συμμετρικές ως προς την και άρα, έχουμε
Αλλά, ισχύει λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , όπου .
Από
Από έχουμε ότι το τετράπλευρο , όπου είναι εγγράψιμο και άρα, προκύπτει , λόγω και άρα, έχουμε
Από και , συμπεραίνεται ότι και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο με περίκυκλο , έγκυκλο και ας είναι , τα σημεία τομής του από τις ευθείες αντιστοίχως, με το κέντρο του . Έστω τα σημεία και και , όπου είναι το κέντρο του και , το σημείο επαφής του στην και , τα αντιδιαμετρικά σημεία των , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι .
Η ευθεία ταυτίζεται με την μεσοκάθετη ευθεία του ( γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα ) και έστω το σημείο .
Άρα, οι ευθείες είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία .
Συμμετρικές ως προς την είναι επίσης και οι ευθείες , όπου και επομένως, ισχύει
Αλλά,
Από και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά και οι ευθείες είναι συμμετρικές ως προς την . Προκύπτει έτσι, ότι και οι ευθείες είναι επίσης συμμετρικές ως προς την και άρα, έχουμε
Αλλά, ισχύει λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , όπου .
Από
Από έχουμε ότι το τετράπλευρο , όπου είναι εγγράψιμο και άρα, προκύπτει , λόγω και άρα, έχουμε
Από και , συμπεραίνεται ότι και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Περίεργη συντρέχεια
Ωραίο πρόβλημα! Θα πατήσω λίγο στην λύση του κύριου Βήττα και συγκεκριμένα στο "ζωτικής σημασίας" σημείο .
Έστω πως οι και τέμνονται στο . Προφανώς το προκύπτει να είναι το αντιδιαμετρικό του στο τρίγωνο .
Όμως στη συμμετρία ως προς την , τα είναι συζυγή, όπως και τα τρίγωνα και , άρα τα και είναι συζυγή.
To που το ορίζουμε εκ νέου ως την τομή της και του περιγεγραμμένου κύκλου του , έχει συζυγές το , όπου είναι η τομή της , δηλαδή της , με την .
Έστω το σημείο τομής της και .
Αρκεί να δείξουμε πως τα είναι συνευθειακά.
Έστω τώρα το σημείο τομής της και .
Από αυτό βρίσκεται πάνω στην .
Παρατηρούμε πως η συνιστά την πολική του στον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Θα δείξουμε ότι και το ανήκει στην πολική του .
Έστω πως η τέμνει τον περιγεγραμμένο στα .
Επειδή το είναι μέσο του , αρκεί από : .
Αρκεί δηλαδή να είναι εγγράψιμο.
Έχουμε:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Θα δείξω τώρα γιατί η είναι εφαπτομένη στο (η αρχή της λύσης του κύριου Βήττα)
Έστω πως η τέμνει τις και στα .
Από Μενέλαο έχουμε:
Όμως εύκολα συμπεραίνουμε πως το είναι ρόμβος.
Άρα και , άρα και από θεώρημα διχοτόμων στο , έχουμε πως και ως γνωστό έπεται ότι η είναι εφαπτομένη στο .
Έστω πως οι και τέμνονται στο . Προφανώς το προκύπτει να είναι το αντιδιαμετρικό του στο τρίγωνο .
Όμως στη συμμετρία ως προς την , τα είναι συζυγή, όπως και τα τρίγωνα και , άρα τα και είναι συζυγή.
To που το ορίζουμε εκ νέου ως την τομή της και του περιγεγραμμένου κύκλου του , έχει συζυγές το , όπου είναι η τομή της , δηλαδή της , με την .
Έστω το σημείο τομής της και .
Αρκεί να δείξουμε πως τα είναι συνευθειακά.
Έστω τώρα το σημείο τομής της και .
Από αυτό βρίσκεται πάνω στην .
Παρατηρούμε πως η συνιστά την πολική του στον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Θα δείξουμε ότι και το ανήκει στην πολική του .
Έστω πως η τέμνει τον περιγεγραμμένο στα .
Επειδή το είναι μέσο του , αρκεί από : .
Αρκεί δηλαδή να είναι εγγράψιμο.
Έχουμε:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Θα δείξω τώρα γιατί η είναι εφαπτομένη στο (η αρχή της λύσης του κύριου Βήττα)
Έστω πως η τέμνει τις και στα .
Από Μενέλαο έχουμε:
Όμως εύκολα συμπεραίνουμε πως το είναι ρόμβος.
Άρα και , άρα και από θεώρημα διχοτόμων στο , έχουμε πως και ως γνωστό έπεται ότι η είναι εφαπτομένη στο .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες