- Γωνιαίο ζήτημα.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές
Γωνιαίο ζήτημα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Γωνιαίο ζήτημα
Το είναι τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Γωνιαίο ζήτημα
β) Ότι διαγώνιος και γ) : .
Οι επίπονες πράξεις δίνουν : , δηλαδή : .
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Μπορούμε να δείξουμε ότι , που τελειώνει την άσκηση.
Δεν είναι απλό, αφού στο βάθος κρύβεται η επίλυση των τριγώνων
(Το πρώτο έχει και περιεχόμενη γωνία . Το δεύτερο είναι )
Δεν είναι απλό, αφού στο βάθος κρύβεται η επίλυση των τριγώνων
(Το πρώτο έχει και περιεχόμενη γωνία . Το δεύτερο είναι )
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Καλημέρα σε όλους! Μια προσπάθεια στα πλαίσια -θεωρώ- της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με χρήση του σχήματος:
Φέρω και .Αν τότε .
Όπως έχει δειχθεί και Γεωμετρικά είναι
οπότε και ( θέτοντας , όπως λέμε.. .. Visvikis !)
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και με το Π.Θ οπότε
Ισχύουν , όπως θα δείξω σε επόμενη υποβολή οι σχέσεις
και
Από την παίρνουμε με άρα
και από την παίρνουμε άρα , τότε
επομένως
Όμως που ισχύει συνεπώς
δηλ. τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια οπότε .
Το λοιπόν ανήκει στον περίκυκλο του και τελικά .Φιλικά , Γιώργος.
Όπως έχει δειχθεί και Γεωμετρικά είναι
οπότε και ( θέτοντας , όπως λέμε.. .. Visvikis !)
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι και με το Π.Θ οπότε
Ισχύουν , όπως θα δείξω σε επόμενη υποβολή οι σχέσεις
και
Από την παίρνουμε με άρα
και από την παίρνουμε άρα , τότε
επομένως
Όμως που ισχύει συνεπώς
δηλ. τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια οπότε .
Το λοιπόν ανήκει στον περίκυκλο του και τελικά .Φιλικά , Γιώργος.
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Να μία γεωμετρική λύση:
Με ενδιαφέρει μόνο το πεντάγωνο. Έστω Χ το κοινό σημείο των κύκλων με διαμέτρους CE, BF που είναι πλησιέστερα στην BC.
Είναι απλό και ωραίο να δείξουμε οτι οι κύκλοι αυτοί είναι ορθογώνιοι.
Στη συνέχεια, μετρώντας γωνίες, είναι ομοίως απλό να βρούμε ότι η γωνία CXB είναι 135 μοιρών. (Αν Κ, L είναι τα κέντρα των κύκλων, τότε οι γωνιες CXK, BXL έχουν άθροισμα 135 )
Τέλος, εύκολο, το Χ συμπίπτει με το P.
Ελπίζω να μη διαβάσει την λύση ... ο Σταύρος! Αν όμως την διαβάσει, να βάλει το σχήμα!!
Με ενδιαφέρει μόνο το πεντάγωνο. Έστω Χ το κοινό σημείο των κύκλων με διαμέτρους CE, BF που είναι πλησιέστερα στην BC.
Είναι απλό και ωραίο να δείξουμε οτι οι κύκλοι αυτοί είναι ορθογώνιοι.
Στη συνέχεια, μετρώντας γωνίες, είναι ομοίως απλό να βρούμε ότι η γωνία CXB είναι 135 μοιρών. (Αν Κ, L είναι τα κέντρα των κύκλων, τότε οι γωνιες CXK, BXL έχουν άθροισμα 135 )
Τέλος, εύκολο, το Χ συμπίπτει με το P.
Ελπίζω να μη διαβάσει την λύση ... ο Σταύρος! Αν όμως την διαβάσει, να βάλει το σχήμα!!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Χαιρετώ και πάλι. Ας δείξουμε λοιπόν τις σχέσεις
και
γενικότερα καλύπτοντας βεβαίως και το ως άνω ζήτημα Έχουμε : που ισχύει αφού κάθε γινόμενο ισούται με
Ακόμη: Το είναι εγγράψιμο άρα κι΄έτσι
Γίνεται φανερό ότι η ισοδύναμη τριγωνομετρική μορφή της είναι :
και της :
Θεωρώ συνεπώς ότι η χρήση των ως άνω τριγωνομετρικών τύπων -που αποδείξαμε με γεωμετρικά εργαλεία-
δεν στερούν τον Γεωμετρικό χαρακτήρα λύσεων , όπως αυτή που υπέβαλα στην προηγούμενη ανάρτησή μου.
Φιλικά , Γιώργος.
και
γενικότερα καλύπτοντας βεβαίως και το ως άνω ζήτημα Έχουμε : που ισχύει αφού κάθε γινόμενο ισούται με
Ακόμη: Το είναι εγγράψιμο άρα κι΄έτσι
Γίνεται φανερό ότι η ισοδύναμη τριγωνομετρική μορφή της είναι :
και της :
Θεωρώ συνεπώς ότι η χρήση των ως άνω τριγωνομετρικών τύπων -που αποδείξαμε με γεωμετρικά εργαλεία-
δεν στερούν τον Γεωμετρικό χαρακτήρα λύσεων , όπως αυτή που υπέβαλα στην προηγούμενη ανάρτησή μου.
Φιλικά , Γιώργος.
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Ας γράψω αναλυτικότερα τις σκέψεις μου:
Οι κύκλοι με διαμέτρους έχουν κέντρα τα , αντιστοίχως και το είναι κοινό τους σημείο.
Αν η πλευρά του πενταγώνου είναι τότε (γνωστό) η διαγώνιος . Έτσι
Το τμήμα είναι ίσο με το ύψος του τραπεζίου , για το οποίο από το ορθογώνιο τρίγωνο υπολογίζεται ότι ( υπόψη ):
Έτσι από το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Επομένως
και
Επομένως το σημείο ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου , οπότε
Θα δείξουμε ότι ο σημείο συμπίπτει με το , δηλαδή ότι είναι το σημείο τομής των τμημάτων . Αυτό, επειδή τελειώνει την απόδειξη.
Πραγματικά, αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία , όπως και τα σημεία είναι συνευθειακά. Αυτά προκύπτουν από τις προφανείς ισότητες:
και
Οι κύκλοι με διαμέτρους έχουν κέντρα τα , αντιστοίχως και το είναι κοινό τους σημείο.
Αν η πλευρά του πενταγώνου είναι τότε (γνωστό) η διαγώνιος . Έτσι
Το τμήμα είναι ίσο με το ύψος του τραπεζίου , για το οποίο από το ορθογώνιο τρίγωνο υπολογίζεται ότι ( υπόψη ):
Έτσι από το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Επομένως
και
Επομένως το σημείο ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου , οπότε
Θα δείξουμε ότι ο σημείο συμπίπτει με το , δηλαδή ότι είναι το σημείο τομής των τμημάτων . Αυτό, επειδή τελειώνει την απόδειξη.
Πραγματικά, αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία , όπως και τα σημεία είναι συνευθειακά. Αυτά προκύπτουν από τις προφανείς ισότητες:
και
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Ευχαριστώ τον Θανάση, τον Κώστα και το Γιώργο για την ενασχόλησή τους με το θέμα και για τις λύσεις τους. Ας δούμε και μία πιο απλή λύση (δεν είναι δική μου).
Οι κύκλοι τέμνονται στο Εκ κατασκευής τα κόκκινα τρίγωνα είναι ίσα, καθώς επίσης και τα γαλάζια. Εύκολα βρίσκω:
απ' όπου παίρνω και
Άρα τα είναι ομοκυκλικά και
Οι κύκλοι τέμνονται στο Εκ κατασκευής τα κόκκινα τρίγωνα είναι ίσα, καθώς επίσης και τα γαλάζια. Εύκολα βρίσκω:
απ' όπου παίρνω και
Άρα τα είναι ομοκυκλικά και
Re: Γωνιαίο ζήτημα
Όλες ωραίες αλλά αυτή είναι το κάτι άλλο .george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 03, 2019 5:41 pmΕυχαριστώ τον Θανάση, τον Κώστα και το Γιώργο για την ενασχόλησή τους με το θέμα και για τις λύσεις τους. Ας δούμε και μία πιο απλή λύση (δεν είναι δική μου).
Οι κύκλοι τέμνονται στο Γωνιαίο ζήτημα.ΙΙ.png
Εκ κατασκευής τα κόκκινα τρίγωνα είναι ίσα, καθώς επίσης και τα γαλάζια. Εύκολα βρίσκω:
απ' όπου παίρνω και
Άρα τα είναι ομοκυκλικά και
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 16 επισκέπτες