Κυβικές ρίζες

KARKAR · #1

Υπολογίστε την τιμή της πατάστασης : $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

Έστω $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$ και $b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ . Τότε, $a \cdot b=1$ και a^3-b^3=4

.

Εξάλλου: $(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\Leftrightarrow (a-b)^3=4-3(a-b)$ (1)

.

Θέτοντας a-b=k

στην

, έχουμε

που έχει μοναδική πραγματική ρίζα το k=1

, επομένως $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=k=1$

Tolaso J Kos · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am
Υπολογίστε την τιμή της πατάστασης : $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

Θανάση, βρίσκω

. Ας την αφήσουμε λίγο μήπως κάποιος άλλος θέλει να ασχοληθεί... !!

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am
Υπολογίστε την τιμή της πατάστασης : $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

Παρόμοιο.

Έστω $\displaystyle \sqrt 5 + 2 = a,\sqrt 5 - 2 = b \Rightarrow a - b = 4,ab = 1$

$\displaystyle x = \sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}} = \frac{{a - b}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)}^2} + 3\sqrt[3]{{ab}}}}$

$\displaystyle x = \frac{4}{{{x^2} + 3}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=1}$

#5

Ας «απλοποιηθεί» περισσότερο το $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$ . Είμαι επίτηδες κάπως ασαφής. Αν χρειαστεί θα διευκρινίσω αργότερα τι ακριβώς ζητάω.

Altrian · #6

Καλησπέρα,

$\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^{3}=\sqrt{5}+2$

$\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^{3}=\sqrt{5}-2$

Και η ζητούμενη παράσταση ισούται με 1.

Αλέξανδρος

#7

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 09, 2018 12:01 pm
Ας «απλοποιηθεί» περισσότερο το $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$ . Είμαι επίτηδες κάπως ασαφής. Αν χρειαστεί θα διευκρινίσω αργότερα τι ακριβώς ζητάω.

Πράγματι, είναι $\displaystyle \sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} = \Phi ,\sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = \Phi - 1,$ όπου $\displaystyle \Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2},$ κλπ...

Με πρόλαβαν.

kkala · #8

Μία παραλλαγή της λύσης του σημειώματος 2. Θυμάμαι παρόμοια άσκηση στην Άλγεβρα Γ. Παπανικολάου (έκδοση περίπου 1962), όπως την έλυνε στις λύσεις του βιβλίου του.
Θετουμε Κ= $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$
Υψώνουμε στον κύβο 'εχοντας υπόψη ότι $(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a+b)$
άρα μετά πράξεις K $^{3} = 4 - 3\left ( \sqrt{5}+2 \right )\left ( \sqrt{5}-2 \right )\cdot K$
η προκύπτουσα εξίσωση $K^{3}+3K-4=0$ , από όπου Κ=1. Oι 2 συζυγείς μιγαδικές λύσεις απορρίπτονται.
Άρα Κ=1.

panagiotis iliopoulos · #9

Προτείνω κι εγώ μία λύση. Θέτω Α= $A=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\Rightarrow A-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=0$
Έχουμε άθροισμα τριών αριθμών ίσο με μηδέν. Από ταυτότητα Euler το άθροισμα των κύβων τους θα ισούται με το τριπλάσιο γινόμενό τους. Τελικά προκύπτει η εξίσωση $A^{3}+3A-4=0$ $\Rightarrow A=1$ .

Κυβικές ρίζες

Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Re: Κυβικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση