Εμβαδόν τριγώνου

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Με τα δεδομένα του σχήματος, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου AEC

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 20, 2019 4:59 pm
shape.pngΜε τα δεδομένα του σχήματος, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου .

Χριστός Ανέστη!

Το ABCD

είναι εγγράψιμο άρα $\widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\widehat{ECD}\Leftrightarrow \overset{\Delta }{ADC}\sim \overset{\Delta }{ECD}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{DC}{ED}\Leftrightarrow DC^2=36\Leftrightarrow DC=6$

Οπότε είναι $\left ( AEC \right )=\left ( ADC \right )-\left ( ECD \right )=\dfrac{12\cdot 6-3\cdot 6}{2}=27\tau .\mu$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Είναι σχεδόν ιεροσυλία να πειράζουμε τα σχήματα του Μιχάλη με βοηθητικές, περίκυκλους κ.α.(*)

Σπαζοκεφάλιασα να βρω μια λύση δίχως καμία παρέμβαση στο σχήμα. Τελικά βρήκα μία.

: shape.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \eta \mu \omega = \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{9} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E} = 9\eta \mu \omega$ και στο DEC

είναι $\displaystyle \eta \mu \omega = \frac{3}{{C{\rm E}}} \Leftrightarrow CE = \frac{3}{{\eta \mu \omega }}$

Οπότε, από Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο ABC

είναι

$\displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{9\eta \mu \omega }}{{\frac{3}{{\eta \mu \omega }}}} = \sigma \upsilon \nu 2\omega$

$\displaystyle \Leftrightarrow 3\eta {\mu ^2}\omega = 1 - 2\eta {\mu ^2}\omega \Leftrightarrow \eta \mu \omega = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ , αφού είναι οξεία γωνία.

Άρα $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \sigma \varphi \omega = 2$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {AEC} \right) = \frac{{AE \cdot CE \cdot \eta \mu \left( {90^\circ + \omega } \right)}}{2} = \frac{{9CE \cdot \sigma \upsilon \nu \omega }}{2} = \frac{{27\sigma \varphi \omega }}{2} = 27$ .

(*) Ελπίζω οι νεότεροι αναγνώστες μας να μην παίρνουν απολύτως τοις μετρητοίς τις δικαιολογίες μου, επειδή βαρέθηκα να κάνω νέο σχήμα...

#4

Παρόμοια με την πολύ ωραία λύση του νεαρού Φωτιάδη

: Εμβαδόν Τριγώνου _20_5_19.png (29 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Το τετράπλευρο ABDC

είναι εγγράψιμο γιατί τα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ βλέπουν υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες την πλευρά

. Κατά συνέπεια , $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ .

Δηλαδή η

εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο AEC

. Αν

τότε θα ισχύει: $D{C^2} = DE \cdot DA \Rightarrow {x^2} = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow \boxed{x = 6}$

Έτσι τώρα : $\boxed{(AEC) = \frac{1}{2}AE \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27}$

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση