Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm

Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω A,B, n\times n πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
A^{2}=B^{2}=(AB)^{2} και επιπλέον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
A^{4}=B^{4}=I_n.

Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Κυρ Μάιος 19, 2019 2:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αφαίρεση μιας αστοχίας στην εκφώνηση.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2636
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 19, 2019 2:19 pm

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω A,B, n\times n πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}=I_n και επιπλέον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
A^{4}=B^{4}=I_n.

Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!
Γεια σου Χρήστο.

Κάτι δεν πάει καλά.

Από A^{2}=B^{2}=I_n

τετριμμένα ισχύει

A^{4}=B^{4}=I_n.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Μάιος 19, 2019 2:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 2:19 pm
chris_gatos έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω A,B, n\times n πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}=I_n και επιπλέον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
A^{4}=B^{4}=I_n.

Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!
Γεια σου Χρήστο.

Κάτι δεν πάει καλά.

Από A^{2}=B^{2}=I_n

τετριμμένα ισχύει

A^{4}=B^{4}=I_n.
Σταύρο γειά χαρά!
Έχεις δίκιο διορθώνω την αρχική εκφώνηση...
Συγνώμη για την απροσεξία και την ταλαιπωρία!


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11492
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 5:30 pm

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω A,B, n\times n πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
A^{2}=B^{2}=(AB)^{2} και επιπλέον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
A^{4}=B^{4}=I_n.
Από  (\det B)^2 = \det (B^2)= \det (A^2) =  (\det A)^2\ne 0 έπεται ότι και ο B είναι αντιστρέψιμος. Οι αρχικές τώρα δίνουν A=BAB, \, B=ABA \, (*).

Άρα ABAB=A^2=(BAB)(BAB)=BA(B^2)AB=BA(A^2)AB= BA^4B, οπότε από τις δύο ακριανές ABA= BA^4. Άρα από τις (*), B=ABA= BA^4 από όπου I=A^4. Και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11492
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 28, 2019 12:50 pm

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!
Χρήστο, με τρώει η περιέργεια.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2636
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 28, 2019 1:28 pm

Πάντως η απόδειξη του Μιχάλη δουλεύει
σε οποιοδήποτε σύνολο με μια προσετεριστική πράξη
για την οποία υπάρχει ουδέτερο και ισχύει δεξιά-αριστερά
ο νομός της διαγραφής.
Με αυτή την έννοια η άσκηση έχει παραπλανητική εκφώνηση.
(Τουλάχιστον για αυτούς που γνωρίζουν στοιχειώδη θεωρία Ομάδων.
Δεν χρειάζεται τίποτα από πίνακες)


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιούλ 16, 2019 10:43 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Μάιος 28, 2019 12:50 pm
Χρήστο, με τρώει η περιέργεια.
Πριν λίγο καιρό βρέθηκα δια ζώσης με τον Μιχάλη σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ομιλία του στο Μαθηματικό Αθήνας
για ξεχασμένα και χαμένα θεωρήματα της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας όπου με ρώτησε ακριβώς για αυτό.
Το είχα ξεχάσει και τώρα είναι ευκαιρία.
Είναι μια άσκηση που είχε προταθεί από τον Θάνο Μάγκο στο Mathematical Reflections.
Συγνώμη για την αμέλεια.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11492
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 17, 2019 12:02 am

chris_gatos έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:43 pm
Πριν λίγο καιρό βρέθηκα δια ζώσης με τον Μιχάλη σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ομιλία του στο Μαθηματικό Αθήνας
για ξεχασμένα και χαμένα θεωρήματα της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας όπου με ρώτησε ακριβώς για αυτό.
Το είχα ξεχάσει και τώρα είναι ευκαιρία.
Είναι μια άσκηση που είχε προταθεί από τον Θάνο Μάγκο στο Mathematical Reflections.
Συγνώμη για την αμέλεια.
Χρήστο, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης