Η τρίτη κορυφή

KARKAR · #1

: Η τρίτη κορυφή.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

$\bigstar$ Του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου SOT

, η κορυφή

της ορθής γωνίας

κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : x+3y-6=0

, ενώ η κορυφή

είναι

η αρχή των αξόνων . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής

.

#2

Ας είναι

τα σημεία που η σταθερή δεδομένη ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα

Αν γράψω τον κύκλο (O,S,T)

, θα κόψει τη σταθερή ευθεία που δόθηκε σε σημείο

. Επειδή $\widehat {ADO} = 45^\circ$ . το σημείο

προσδιορίζεται ως εξής :

: η τρίτη κορυφή_Ευκλείδεια λύση.png (26.19 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Θεωρώ το σταθερό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα την

.

Ο περιγεγραμμένος του κύκλος θα κόψει τη σταθερή δεδομένη ευθεία στο σταθερό

.

Κατά συνέπεια ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία η κάθετη στην

στο σημείο

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 20, 2019 1:35 am
Ας είναι τα σημεία που η σταθερή δεδομένη ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα

Αν γράψω τον κύκλο , θα κόψει τη σταθερή ευθεία που δόθηκε σε σημείο . Επειδή $\widehat {ADO} = 45^\circ$ . το σημείο προσδιορίζεται ως εξής :

η τρίτη κορυφή_Ευκλείδεια λύση.png

Θεωρώ το σταθερό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα την .

Ο περιγεγραμμένος του κύκλος θα κόψει τη σταθερή δεδομένη ευθεία στο σταθερό .

Κατά συνέπεια ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία η κάθετη στην στο σημείο .

Χριστός Ανέστη!

Συγκεκριμένα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία y=-2x+6

Δίνω την λύση μου:

Έστω S(x_0,y_0)

.

Η ευθεία

έχει εξίσωση $y=\dfrac{y_0}{x_0}x$ (αφού το ζεύγος (x_0,y_0)

την επαληθεύει.)

Επειδή $OS\perp ST$ η κλίση της

θα είναι $-\dfrac{x_0}{y_0}$ και επειδή

$y_0=-\dfrac{x_0}{y_0}x_0+y_0+\dfrac{x_0}{y_0}x_0$ η

θα είναι η $y=-\dfrac{x_0}{y_0}x+\dfrac{x_0^2+y_0^2}{y_0}$

Αν

η κλίση της

θα είναι $a=\tan(\vartheta -45)=\dfrac{y_0-x_0}{y_0+x_0}$

Οι συντεταγμένες του

είναι η τομή των OT,ST

:

$\dfrac{y_0-x_0}{y_0+x_0}x_1=\dfrac{-x_0}{y_0}x_1+\dfrac{y_0^2+x_0^2}{y_0}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x_1=x_0+y_0,y_1=y_0-x_0$

Όμως $y_0=-\dfrac{1}{3}x_0+2$ και έτσι $x_1=\dfrac{2}{3}x_0+2,y_1=-\dfrac{4}{3}x_0+2$
Βλέπουμε πως $\boxed{y_1=-2x_1+6}$ .

#4

Τι συμβαίνει αν το

βρίσκεται πάνω από την ευθεία x+3y-6=0;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 21, 2019 11:06 am
Τι συμβαίνει αν το βρίσκεται πάνω από την ευθεία

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

(δηλαδή το T εαν αυτό είναι πάνω από την x+3y-6=0

.

$\left\{\begin{matrix} & x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{x_0+y_0+x_2}{2} & \\ \\ & x_0=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{y_0-x_0+y_2}{2} & \\ & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_2=x_0-y_0 & \\ & y_2=x_0+y_0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow y_2=\dfrac{1}{2}x_2+3$

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του

είναι η $y=\dfrac{1}{2}x+3$ .

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 21, 2019 6:24 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 21, 2019 11:06 am
Τι συμβαίνει αν το βρίσκεται πάνω από την ευθεία
Έστω το συμμετρικό του ως προς το (δηλαδή το T εαν αυτό είναι πάνω από την .

$\left\{\begin{matrix} & x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{x_0+y_0+x_2}{2} & \\ \\ & x_0=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{y_0-x_0+y_2}{2} & \\ & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_2=x_0-y_0 & \\ & y_2=x_0+y_0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow y_2=\dfrac{1}{2}x_2+3$

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του είναι η $y=\dfrac{1}{2}x+3$ .

Ακριβώς!

Η τρίτη κορυφή

Η τρίτη κορυφή

Re: Η τρίτη κορυφή

Re: Η τρίτη κορυφή

Re: Η τρίτη κορυφή

Re: Η τρίτη κορυφή

Re: Η τρίτη κορυφή

Μέλη σε σύνδεση