Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

v2gls · #1

Θεωρούμε ότι τρεις παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι : Ο Α διαλέγει αριθμό από το [0,1]

. Μετά ο Β διαλέγει επίσης αριθμό από το [0,1]

αλλά διαφορετικό από αυτόν του Α. Τέλος ο Γ συνεχίζει παρόμοια αλλά πάλι με αριθμό διαφορετικό από αυτόν των άλλων δύο. Τέλος επιλέγεται τυχαίος αριθμός στο [0,1]

από την ομοιόμορφη κανονική κατανομή. Όποιος παίκτης έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στο τυχαίο αυτό αριθμό κερδίζει το παιχνίδι.
Θεωρούμε ότι όλοι οι παίκτες παίζουν βέλτιστα με σκοπό να μεγιστοποιήσουν τη πιθανότητα να κερδίσουν. Αν ένας παίκτης έχει πολλές βέλτιστες επιλογές τότε επιλέγει μία από αυτές τυχαία.
Ερώτημα 1: Αν ο παίκτης Α επιλέξει το 0, ποιος αριθμός είναι η βέλτιστη επιλογή για τον Β ;
Ερώτημα 2: Ποιος αριθμός ειναι η βέλτιστη επιλογή του Α ;

Δε ξέρω καθόλου πως να προσεγγίσω το πρόβλημα αυτό. Γνωρίζει μήπως κάποιος ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

v2gls έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 15, 2019 11:31 am
Θεωρούμε ότι τρεις παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι : Ο Α διαλέγει αριθμό από το . Μετά ο Β διαλέγει επίσης αριθμό από το αλλά διαφορετικό από αυτόν του Α. Τέλος ο Γ συνεχίζει παρόμοια αλλά πάλι με αριθμό διαφορετικό από αυτόν των άλλων δύο. Τέλος επιλέγεται τυχαίος αριθμός στο από την ομοιόμορφη κανονική κατανομή. Όποιος παίκτης έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στο τυχαίο αυτό αριθμό κερδίζει το παιχνίδι.
Θεωρούμε ότι όλοι οι παίκτες παίζουν βέλτιστα με σκοπό να μεγιστοποιήσουν τη πιθανότητα να κερδίσουν. Αν ένας παίκτης έχει πολλές βέλτιστες επιλογές τότε επιλέγει μία από αυτές τυχαία.
Ερώτημα 1: Αν ο παίκτης Α επιλέξει το 0, ποιος αριθμός είναι η βέλτιστη επιλογή για τον Β ;
Ερώτημα 2: Ποιος αριθμός ειναι η βέλτιστη επιλογή του Α ;

Δε ξέρω καθόλου πως να προσεγγίσω το πρόβλημα αυτό. Γνωρίζει μήπως κάποιος ;

Το πρόβλημα από που είναι;

Για το πρώτο ερώτημα η καλύτερη επιλογή του Β ειναι το $\dfrac{2}{3}.$ Αυτό του δίνει πιθανότητα να κερδίσει που είναι

τουλάχιστον $\dfrac{1}{3}.$ Σε οποιαδήποτε άλλη θέση έχει μικρότερη πιθανότητα.

Εδώ έχουμε βέλτιστη επιλογή για τον Γ που είναι οποιαδήποτε θέση μεταξύ των Α και Β και του δίνει πιθανότητα νίκης $\dfrac{1}{3}$ .

Προσπάθησε να το αποδείξεις. Στο δεύτερο ερώτημα η καλύτερη επιλογή για τον Α είναι

ή

Ο λόγος είναι ότι αν ο Α επιλέξει αριθμό στο (0,1)

οι άλλοι δύο θα παίξουν ''βέλτιστα'' με αποτέλεσμα η πιθανότητα να

κερδίσει ο Α να είναι πρακτικά

(εδώ καταχρηστικά ο όρος βέλτιστα γιατί η πιθανότητα του Β και του Γ να κερδίσει δεν

έχει μέγιστο). Αν όμως επιλέξει

ή

τότε από το πρώτο ερώτημα ο Β θα επιλέξει

$\dfrac{2}{3}$ ή $\dfrac{1}{3}$ αντίστοιχα και αυτό δίνει μια πληθώρα επιλογών για τον Γ ώστε αυτός να παίξει

βέλτιστα. Δεδομένου ότι θα επιλέξει τυχαία τη βέλτιστη θέση αυτό δίνει μία θετική πιθανότητα στον Α για να κερδίσει. (ποια είναι αυτή η πιθανότητα;)

Υ.Γ. Έχουμε την κανονική κατανομή και την ομοιόμορφη κατανομή. Ομοιόμορφη κανονική δεν υπάρχει.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Μετά από διάλογο με τον Σταύρο Παπαδόπουλο επιχειρώ μια τροποποίηση της εκφώνησης για να είναι εγγυημένη η ύπαρξη

βέλτιστων επιλογών των παιχτών. Κάθε επόμενος παίκτης (εκτός του Α) να επιλέγει διαφορετικό αριθμό από τους

προηγούμενους και σε απόσταση τουλάχιστον $\varepsilon =10^{-6}$ . Ουσιαστικά βάζουμε τους παίκτες να επιλέγουν

από συμπαγή υποσύνολα του [0,1].

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 17, 2019 3:46 am

Το πρόβλημα από που είναι;

Για το πρώτο ερώτημα η καλύτερη επιλογή του Β ειναι το $\dfrac{2}{3}.$ Αυτό του δίνει πιθανότητα να κερδίσει που είναι

τουλάχιστον $\dfrac{1}{3}.$ Σε οποιαδήποτε άλλη θέση έχει μικρότερη πιθανότητα.

Εδώ έχουμε βέλτιστη επιλογή για τον Γ που είναι οποιαδήποτε θέση μεταξύ των Α και Β και του δίνει πιθανότητα νίκης $\dfrac{1}{3}$ .

Προσπάθησε να το αποδείξεις. Στο δεύτερο ερώτημα η καλύτερη επιλογή για τον Α είναι ή

Ο λόγος είναι ότι αν ο Α επιλέξει αριθμό στο οι άλλοι δύο θα παίξουν ''βέλτιστα'' με αποτέλεσμα η πιθανότητα να

κερδίσει ο Α να είναι πρακτικά (εδώ καταχρηστικά ο όρος βέλτιστα γιατί η πιθανότητα του Β και του Γ να κερδίσει δεν

έχει μέγιστο). Αν όμως επιλέξει ή τότε από το πρώτο ερώτημα ο Β θα επιλέξει

$\dfrac{2}{3}$ ή $\dfrac{1}{3}$ αντίστοιχα και αυτό δίνει μια πληθώρα επιλογών για τον Γ ώστε αυτός να παίξει

βέλτιστα. Δεδομένου ότι θα επιλέξει τυχαία τη βέλτιστη θέση αυτό δίνει μία θετική πιθανότητα στον Α για να κερδίσει. (ποια είναι αυτή η πιθανότητα;)

Υ.Γ. Έχουμε την κανονική κατανομή και την ομοιόμορφη κατανομή. Ομοιόμορφη κανονική δεν υπάρχει.

Κατά αρχήν μια παρατήρηση.
Στα Μαθηματικά δεν υπάρχει η έκφραση
''πιθανότητα πρακτικά μηδέν ''
Ισως να υπάρχει στους σεισμολόγους κλπ.

Δεν είναι σωστό ότι για το β) η βέλτιστη επιλογή του

είναι το

η

Γιατί:
Αν ο

επιλέξει το

(λόγω συμμετρίας τα ίδια ισχύουν για το

)
τότε όπως έγραψε και ο Λάμπρος οι βέλτιστες επιλογές είναι
Για το

το

και για τον

οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ

και

Αν ο

επιλέξει τον 0<z<2/3

τότε ο

εχει πιθανότητα να κερδίσει
z/2

Επειδή ο

επιλέγει τυχαία η πιθανότητα να κερδίσει ο

είναι

$\displaystyle \frac{1}{\frac{2}{3}}\int_{0}^{\frac{2}{3}}\frac{z}{2}dz=\frac{1}{6}$

Για να δούμε τι γίνεται αν ο

επιλέξει το 0,1

Τότε ο

θα επιλέξει το 0,7

και ο

ένα αριθμό μεταξύ των 0,1

και

εστω τον

Για δοσμένο

η πιθανότητα να κερδίσει ο

είναι $0,1+\frac{z-0,1}{2}$

Ετσι η πιθανότητα να κερδίσει ο

είναι

$\displaystyle 0,1+\frac{1}{0,7-0,1}\int_{0,1}^{0,7}\frac{z-0,1}{2}dz=0,2+\frac{0,1}{2}$

Η επιλογή του 0,1

δίνει μεγαλύτερη πιθανότητα από την επιλογή του

.
Αρα η επιλογή του

δεν είναι βέλτιστη.

Το πρόβλημα είναι ενδιαφέρον.
(αν βρω χρόνο ισως αύριο ασχοληθώ)
Μπορεί οι βέλτιστες επιλογές να πιάνονται.
Δηλαδή.
Αν ο

επιλέξει το 1/2

τότε δεν υπάρχουν βέλτιστες επιλογές για τους B,C

.
Αλλά σίγουρα το 1/2

δεν είναι είναι βέλτιστη επιλογή για τον

οπότε
δεν έχουμε επιλογές για τους B,C

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Με το πρακτικά

εννοούσα αυθαίρετα κοντά στο

ελλείψει βέλτιστων επιλογών. Θεώρησα λανθασμένα ότι αν ο Α παίξει $a\in (0,1)$ ο Β θα παίξει $a-\varepsilon$ και ο Γ $a+\delta$ με $\delta<\varepsilon$ . Λανθασμένη θεώρηση βεβαίως.

Η απάντηση στο Β είναι τελικά ότι ο Α θα επιλέξει $a=\dfrac{1}{4}$ ή $a=\dfrac{3}{4}$ και όλοι οι παίκτες έχουν

βέλτιστες επιλογές. Τη λύση θα την βάλω από βδομάδα μιας και έχει πέσει πολύ δουλειά στο σεισμολογικό και δεν προλαβαίνω

.

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Κατ’αρχάς αρκεί να βρούμε την βέλτιστη επιλογή του Α (αν υπάρχει) στην περίπτωση που αυτός μπορεί να επιλέξει αριθμό

στο διάστημα [0,1/2].

Αυτό γιατί αν $a^{*}$ είναι μια βέλτιστη επιλογή του τότε προφανώς και η $1-a^{*}$

θα είναι βέλτιστη επιλογή.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις παιξίματος των τριών παικτών:

1. a<c<b

2.

3.

4.

5.

6.

Θα δείξουμε ότι μόνο η περίπτωση (1) είναι συμφέρουσα και για τους τρεις.

Στην (2) ο Α εξαναγκάζει τον Β να παίξει b>a

και ο Α και ο Β τον C να παίξει c>b

.

Έστω $k=\sup(b)$ για το οποίο ισχύει η (2). Είναι $0< k\leq 1.$ Ο C προφανώς δεν έχει βέλτιστη επιλογή.

Δεδομένου ότι ο C θα παίξει $k+\varepsilon$ για κάποιο $0<\varepsilon \leq 1-b$ o B θα μπορούσε να

τοποθετηθεί στο $k+\dfrac{\varepsilon}{2}$ και να είχε ευνοΐκότερη θέση.

Στην (3) και στην (4) οι C και Β θα επιλέξουν αυθαίρετα κοντά στον Α και η πιθανότητα νίκης του Α μπορεί να γίνει

$<\varepsilon$ για κάθε $\varepsilon>0$ .

Στην (5) και στην (6) ο C τουλάχιστον δεν παίζει βέλτιστα αφού μπορεί να τοποθετηθεί αυθαίρετα κοντά και δεξιά του Α.

Μας μένει να εξετάσουμε την περίπτωση (1).

Έχουμε λοιπόν ότι ο C θα αναγκαστεί να επιλέξει a < c < b

αν και μόνο αν

$\dfrac{b-a}{2}\geq 1-b,\dfrac{b-a}{2}\geq a\Leftrightarrow b\geq \max\left ( \dfrac{2+a}{3} ,3a\right )\left ( \bigstar \right )$ .

Το σημείο τομής των ευθειών $y =\dfrac{2+a}{3}$ και y= 3a

φαίνεται στο επισυναπτόμενο σχήμα και

είναι το (1/4,3/4).

Επομένως αν ο Α επιλέξει αριθμό στο [0,1/4]

ο Β θα θελήσει να κινηθεί σε

κομμάτι της κόκκινης περιοχής. Δεδομένου ότι ο C θα παίξει ενδιάμεσα στον Α και στον Β, οι δύο παίκτες Α και Β θα

θελήσουν να περιορίσουν τον χώρο του C αυξάνοντας τις πιθανότητες νίκης τους. Άρα ο Β θα κινηθεί πάνω στην

ευθεία $y = \dfrac{2+a}{3}$ (κόκκινη γραμμή) και γι’αυτή την επιλογή του ο Α θα θέλει να τοποθετηθεί στο

$a =\dfrac{1}{4}$ (το μεγαλύτερο δυνατό).

Αν ο Α επιλέξει αριθμό στο (1/4,1/3]

τότε πάλι ο Β και ο Α θα θελήσουν να περιορίσουν τον χώρο του C.

Ο Β θα κινηθεί στην ευθεία y= 3a

(κόκκινη γραμμή) δίνοντας πιθανότητα νίκης στον C ίση με $\dfrac{3a-a}{2} = a$

η οποία ελαχιστοποιείται αν ο A παίξει $\dfrac{1}{4}$ .

Πάμε τώρα και στο τελευταίο διάστημα (1/3,1/2].

Αν υποθέσουμε ότι είναι καλύτερα για τον Β να παίξει πάνω

από τον Α δηλαδή b > a

τότε αποκλείεται ο C να παίξει ανάμεσα στους Α και Β από $\left ( \bigstar \right )$

αφού αυτή μας εξασφαλίσει ότι ο B θα κινηθεί στην κόκκινη περιοχή. Άρα αναγόμαστε στις περιπτώσεις (2),(4) που έχουν

ήδη απορριφθεί. Αν υποθέσουμε ότι είναι καλύτερα για τον Β να παίξει κάτω από τον Α δηλαδή b < a

τότε

αναγόμαστε στις περιπτώσεις (3),(5) που έχουν απορριφθεί.

Τελικά ο Α παίζει βέλτιστα αν επιλέξει το $\dfrac{1}{4}$ ή το $\dfrac{3}{4}$ . Σε αυτή τη θέση ο Β θα επιλέξει $\dfrac{3}{4}$

ή $\dfrac{1}{4}$ αντίστοιχα και ο C θα αναγκαστεί να παίξει ενδιάμεσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Εγώ ξεκίνησα διαφορετικά από τον Λάμπρο.
Στα παρακάτω με a,b,c

είναι οι αριθμοί που διαλέγουν οι A,B,C

αντίστοιχα.
Σκέφθηκα τι πρέπει να συμβαίνει για να είναι a<c<b

και οδηγήθηκα στα εξής.

Εστω ότι $0<a\leq \frac{1}{4}$ .

Ισχυρισμός
Ο

θα διαλέξει το $\frac{a+2}{3}$ .
Επειδή $1-\frac{a+2}{3}=\frac{1}{3}-\frac{a}{3}\geq \frac{1}{4}$
είναι καλυτερη θέση από το να πάει αριστερά του

.
Επειδή $\dfrac{\frac{a+2}{3}-a}{2}=\frac{1}{3}-\frac{a}{3}$
ο

θα διαλέξει θέση μεταξύ των $a,\frac{a+2}{3}$ .
Αν ο

θα διαλέξει θέση δεξιότερα του $\frac{a+2}{3}$
τότε ο

θα διαλέξει μεταξύ των A,B

και υπολογίζοντας την πιθανότητα
του

βγαίνει μικρότερη.
Αποδείξαμε τον ισχυρισμό.

Σε αυτή την κατάσταση η πιθανότητα του

είναι

$a+\frac{1}{\frac{a+2}{3}-a}\int_{a}^{\frac{a+2}{3}}\frac{x-a}{2}dx=\frac{a}{2}+\frac{1}{4}(a+\frac{a+2}{3})$ (1)

αύξουσα σαν συνάρτηση του

Σε τέτοια κατάσταση ο

θα διαλέξει το $\frac{1}{4}$ οπότε ο

το $\frac{3}{4}$
και ο

θα διαλέξει μεταξύ των A,B

.
Σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα του

είναι μεγαλύτερη από $\frac{1}{4}$ .

Θα έχουμε τελειώσει αν δείξουμε ότι το $\frac{1}{4}<a<\frac{1}{2}$ .
δίνει για τον

πιθανότητα μικρότερη από $\frac{1}{4}$ .
Αν ο

διαλέξει αριστερά του

τότε ο

θα διαλέξει δεξιά και προφανώς επειδή
θα προσπαθούν να τον πλησιάσουν η πιθανότητα του θα είναι μικρότερη του $\frac{1}{4}$ .
Ετσι αναγκαστικά (αν υποθέσουμε ότι η επιλογή του

είναι η καλύτερη)
ο

θα διαλέξει δεξιά του

.
Θα διαλέξει $1-a+\epsilon$
ώστε να αναγκαστεί ο

να μην πάει δεξιά του.
Ετσι ο

θα διαλέξει $a-\delta$
Τότε όμως η πιθανότητα του

θα είναι
$\frac{\delta }{2}+\frac{1-a+\epsilon -a}{2}=\frac{\delta+\epsilon }{2}+\frac{1}{2}-a$
που για $\epsilon,\delta$ αρκούντως μικρά είναι μικρότερη του $\frac{1}{4}$ .
(να σημειώσω ότι ο τύπος (1) για την επιλογή του

το $\frac{1}{4}$
του δίνει πιθανότητα $\frac{6}{16}$ )

Προφανώς λόγω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε ότι
$0<a\leq \frac{1}{2}$

Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Re: Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Re: Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Re: Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Re: Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Re: Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Re: Παιχνίδι τριών παικτών όπου διαλέγουν κοντά σε τυχαίο αριθμό

Μέλη σε σύνδεση