Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Να λύσετε την ανίσωση
.
4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν , .
5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
.
6. Στην πυραμίδα το μήκος του τμήματος ισούται με , το σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας και . Σφαίρα ακτίνας εφάπτεται των επιπέδων και στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών και , το εμβαδόν της έδρας και τον όγκο της πυραμίδας .
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Να λύσετε την ανίσωση
.
4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν , .
5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
.
6. Στην πυραμίδα το μήκος του τμήματος ισούται με , το σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας και . Σφαίρα ακτίνας εφάπτεται των επιπέδων και στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών και , το εμβαδόν της έδρας και τον όγκο της πυραμίδας .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Μάιος 11, 2019 12:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
2.[/b] Να λύσετε την εξίσωση
.
Ενας τρόπος είναι να θέσουμε
και εκφράζοντας την παράσταση ως προς αυτό να λύσουμε τις πολυωνυμικές εξισώσεις.
(εκανα τις πράξεις και βγαίνει)
Μετά σκέφτηκα Ρώσσοι είναι αυτοί.
Θα υπάρχει και πιο έξυπνος τρόπος.
Η εξίσωση γράφεται
Αν τότε
που πράγματι είναι λύσεις.
Διαφορετικά την γράφουμε
η
αν τότε από ανισοτικές σχέσεις παίρνουμε
και έχουμε τις λύσεις
που πράγματι είναι λύσεις.
Αν τότε βλέπουμε ότι είναι αδύνατη.
(καταλήγουμε στην
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Πανεύκολο μου φαίνεται.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
.
Λύνουμε ως προς
Είναι
Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε
Αμεσα προκύπτει η λύση
Διαφορετικά επειδή πρέπει να είναι ακέραιος θα έχουμε
Από το τριώνυμο που προκύπτει παίρνουμε ότι
Δηλαδή οι τιμές που μπορεί να πάρει το είναι
Δοκιμάζοντας βρίσκουμε και τις λύσεις
,
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Αυτό το σύστημα, μπορεί να "τρελάνει" όποιον δεν δει την παραγοντοποίηση στην δεύτερη εξίσωση.!Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Χάριν παιδειάς, λίγο αλλιώς από το παραπάνω σημείο της λύσης του Σταύρου.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 09, 2019 6:59 pmΠανεύκολο μου φαίνεται.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
.
Λύνουμε ως προς
Είναι
Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε
Είναι τότε
άρα
Δοκιμάζοντας βρίσκουμε και τις λύσεις
από όπου τα ζεύγη .
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Μετά από διόρθωση του κυρίου Σταύρου, η υπόλοιπη λύση διατίθεται παρακάτω.
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...
Πρέπει και αρκεί , άρα άμεσα προκύπτει ότι και . Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):
Από όπου :
ή ή ,το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :
Για στην (1):
, από όπου (απορρίπτεται) ή (αδύνατο)
Γιά στην (1):
Από όπου προκύπτει ότι: (απορρίπτεται) ή
, άρα και
Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η .
Φιλικά,
Πάνος
τελευταία επεξεργασία από Panos35 σε Σάβ Μάιος 11, 2019 12:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Panos35 έγραψε: ↑Παρ Μάιος 10, 2019 11:12 pmΝομίζω ότι υπάρχει και ακόμα μια λύση.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...
Πρέπει και αρκεί , άρα άμεσα προκύπτει ότι και . Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):
Από όπου :
ή ή ,το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :
Για στην (1):
, από όπου (απορρίπτεται) ή (αδύνατο)
Γιά στην (1):
Από όπου προκύπτει ότι: (απορρίπτεται) ή
, άρα και
Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η .
Φιλικά,
Πάνος
Η
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Πράγματι η συγκεκριμένη επαληθεύει το σύστημα και επαληθεύει και την σχέση , την οποία λανθασμένα απέρριψα(λόγω πράξεων) διότι:
Για στην (1) προκύπτει ότι:
, όπου δίνει
ή
(αδύνατο στους πραγματικούς)
Άρα πολύ σωστά λυσέις του συστήματος είναι οι
Κύριε Σταύρο ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση!
Για στην (1) προκύπτει ότι:
, όπου δίνει
ή
(αδύνατο στους πραγματικούς)
Άρα πολύ σωστά λυσέις του συστήματος είναι οι
Κύριε Σταύρο ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικόAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν , .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Τα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και .". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη . Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 amΕίμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικόAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν , .
Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 11, 2019 12:52 pmΤα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και .". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη . Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 amΕίμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικόAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν , .
Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.
Ναι, τώρα είναι πολύ ευκολότερο. Ευχαριστώ! (Θα επανέλθω με τη λύση αν στο μεταξύ δεν απαντηθεί).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών και είναι κατά φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών και . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν , .
Έστω η απόσταση των και η απόστααη των Είναι γνωστό ότι αν οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου δεν συντρέχουν, τότε σχηματίζουν ορθογώνιο,
του οποίου οι διαγώνιοι είναι παράλληλες με τις πλευρές του παραλληλογράμμου και ίσες με την διαφορά τους.
Είναι, και με νόμο συνημιτόνων στο βρίσκω απ' όπου
Τα είναι λοιπόν ρίζες της εξίσωσης
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Ας δούμε για το και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:
Καταρχάς Θέτουμε και το σύστημα γράφεται:
Από την προκύπτει
Με βάση τώρα τις παίρνουμε ή , ή
Καταρχάς Θέτουμε και το σύστημα γράφεται:
Από την προκύπτει
Με βάση τώρα τις παίρνουμε ή , ή
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Το σχήμα για το 6.
Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.
Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.
Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.
Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.
Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα
Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.
Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.
Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.
Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.
Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Για το 5ο ας δούμε και την άποψη:
Για να πάρουμε γινόμενο ακεραίων ισο με σταθερό ακέραιο αριθμό, για να τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με εύκολες συμπληρώσεις έχουμε,
από όπου παίρνουμε εύκολα ως λύσεις τις
Για να πάρουμε γινόμενο ακεραίων ισο με σταθερό ακέραιο αριθμό, για να τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με εύκολες συμπληρώσεις έχουμε,
από όπου παίρνουμε εύκολα ως λύσεις τις
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδα το μήκος του τμήματος ισούται με , το σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας και . Σφαίρα ακτίνας εφάπτεται των επιπέδων και στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών και , το εμβαδόν της έδρας και τον όγκο της πυραμίδας .
Κώστα καλημέρα,
υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.
Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα: Το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται στις έδρες του τετραέδρου αυτού(τριγωνικής πυραμίδας)
με τα σημεία επαφής αντίστοιχα και δημιουργεί ένα ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές .
Το επίπεδο του τριγώνου αυτού ως κάθετο στις δυο ανωτέρω έδρες είναι κάθετο και στην τομή αυτών, δηλαδή
στην ακμή κι έτσι δημιουργεί την αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης γωνίας του τετραέδρου αυτού.
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο προκύπτει:
Από το τρίγωνο και από το θεώρημα των συνημιτόνων προκύπτει:
Άρα:
Από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα ότι
και από το ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι:
Άρα:
Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο και από το πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι:
Από την (6) εύκολα υπολογίζεται το εμβαδόν του τριγώνου , δηλαδή:
Για τον όγκο της πυραμίδας αυτής εργαζόμαστε στο δεύτερο σχήμα: Το ύψος της πυραμίδας αυτής είναι το τμήμα
Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι όμοια γιατί μια οξεία γωνία τους
είναι η αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης . Άρα:
Όμως:
Η σχέση (8) λόγω της (9) δίνει:
Τελικά ο όγκος της πυραμίδας αυτής είναι:
Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφή κινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή
και με όρια μεταβολής τα σημεία .
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Κώστα, σε ευχαριστώ!
Να είσαι πάντα καλά!
Να γράφεις, να σε διαβάζουμε, να μαθαίνουμε από εσένα!
Να είσαι πάντα καλά!
Να γράφεις, να σε διαβάζουμε, να μαθαίνουμε από εσένα!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Κώστα καλημέρα και ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.KDORTSI έγραψε: ↑Τρί Μάιος 14, 2019 5:28 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδα το μήκος του τμήματος ισούται με , το σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας και . Σφαίρα ακτίνας εφάπτεται των επιπέδων και στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών και , το εμβαδόν της έδρας και τον όγκο της πυραμίδας .Κώστα καλημέρα,
υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.
Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα:
...............................................................................................
Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφή κινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή
και με όρια μεταβολής τα σημεία .
Κώστας Δόρτσιος
Να είσαι γερός και πάντα δημιουργικός!
Έχει ενδιαφέρον ο τρόπος με τον οποίο μπορεί κανείς να κατασκευάσει την πυραμίδα αυτή
και μάλιστα στην εποχή μας που διαθέτει τα μέσα της ψηφιακής τεχνολογίας.
Η κατασκευή της πυραμίδας αυτής έχοντας υπόψη και την προηγούμενη ανάρτηση πραγματοποιείται
ακολουθώντας τα εξής στάδια:
1ο στάδιο
Στο οριζόντιο επίπεδο θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα και ένα τυχαίο σημείο (κόκκινο χρώμα) πάνω σ' αυτό.
Θεωρούμε το κάθετο επίπεδο στο ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο και πάνω σ' αυτό κατασκευάζουμε το τετράπλευρο .
Η κατασκευή αυτή είναι εφικτή και εύκολη.
2ο στάδιο
Θεωρούμε το μέσο του τμήματος και προεκτείνουμε το τμήμα έτσι ώστε:
Έτσι το σημείο είναι το βαρύκεντρο της έδρας .
Όμοια προεκτείνοντας το τμήμα κατά ίσο τμήμα βρίσκουμε το σημείο .
3ο στάδιο
Στο σχήμα αυτό φαίνεται πλέον η ζητούμενη πυραμίδα διότι ικανοποιούνται όλα τα δεδομένα της
εκφώνησης του αρχικού προβλήματος.
Επειδή όμως το σημείο θεωρήθηκε τυχαίο επί του τμήματος έχουμε απειρία τέτοιων πυραμίδων των οποίων
η κορυφή θα δείξουμε ότι κινείται επί ενός ευθυγράμμου τμήματος .
Για το θέμα αυτό εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Αν από το σημείο φέρουμε την παράλληλη προς την τότε από την ομοιότητα των τριγώνων
και προκύπτει:
Από την (2) προκύπτει ότι η ευθεία (e) είναι σταθερή.
Καλλιεργώντας τις σχέσεις από την ομοιότητα αυτή εύκολα μπορούμε να
συμπεράνουμε και τα όρια μεταβολής του σημείου .
(αυτές μπορείτε να τις δείτε και στο δυναμικό σχήμα)
Έτσι προκύπτει ότι είναι:
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004
Επειδή ο χώρος στην προηγούμενη ανάρτηση δεν έφτανε για την ανάρτηση και του δεύτερου
δυναμικού αρχείου το αναρτώ στην παρούσα.
Κώστας Δόρτσιος
δυναμικού αρχείου το αναρτώ στην παρούσα.
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες